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Sorry für die vielen Fragen. Ich hatte gehofft es selber lösen zu können.
| Aufgabe | Bestimmen Sie hier die Gruppe [mm]Aut(K/k)[/mm].
a) Für [mm]k = \IQ[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]X^4 +X^3 +X^2 +X +1 \in \IQ[X][/mm].
b) Für [mm]k = \IF_2[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]X^3 - X^2 + 1 \in \IF_2[X][/mm]. |
für die a) gibt es 4 Nullstellen. Kann ich die Aufgabe lösen, ohne explizit die Nullstellen zu berechen. Ich glaube, dass das auch der Sinn ist. Von den früheren Threads hier hatte ich gelesen, dass Identität und [mm]\sigma(i)=-i[/mm] zwei Automorphismen sind. Wie geht man da vor?
für die b)
Selbst wenn ich die Nullstellen explizit mit dem Computer ausrechne, sehe ich keine Automorphismen. hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sorry für die vielen Fragen. Ich hatte gehofft es selber
> lösen zu können.
> Bestimmen Sie hier die Gruppe [mm]Aut(K/k)[/mm].
> a) Für [mm]k = \IQ[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]X^4 +X^3 +X^2 +X +1 \in \IQ[X][/mm].
>
> b) Für [mm]k = \IF_2[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]X^3 - X^2 + 1 \in \IF_2[X][/mm].
>
> für die a) gibt es 4 Nullstellen. Kann ich die Aufgabe
> lösen, ohne explizit die Nullstellen zu berechen.
Ja. Beachte, dass die Nullstellen primitive fuenfte Einheitswurzeln sind. (Das Polynom ist gleich [mm] $\frac{X^5 - 1}{X - 1}$.)
[/mm]
> Ich
> glaube, dass das auch der Sinn ist. Von den früheren
> Threads hier hatte ich gelesen, dass Identität und
> [mm]\sigma(i)=-i[/mm] zwei Automorphismen sind. Wie geht man da
> vor?
Wieso sollte das Element $i$ im Koerper liegen?
> für die b)
> Selbst wenn ich die Nullstellen explizit mit dem Computer
> ausrechne, sehe ich keine Automorphismen. hat jemand einen
> Tipp für mich?
Es ist eine Erweiterung von endlichen Koerpern. Da kann man die Galoisgruppe explizit angeben und sofort sagen, wie die Struktur aussieht, sobald du den Koerpererweiterungsgrad kennst. Tipp: kennst du den Frobenius-Automorphismus?
LG Felix
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