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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 08.11.2005 | | Autor: | Phlipper |
Ich soll alle Automorphisemn für a) G = Z (ganze Zahlen) / 4 und b) G = Z/2 x Z2 finden.
also meine Ideen:
Ein Autom. ist ein bijektiver Endomorohismus, also eine bijektive Selbstabbildung
a) f(g) = [mm] g^{-1} [/mm] ist ein Automorphis, denn die Abbildung bildet in G ab, ist bijektiv, dann f(g) = g müsste noch ein Automormphismus sein oder ? Mehr fallen mir nicht ein. Gibt es noch welche ??
b) Ich kann auch statt Angabe der Autom. eonfach die Autom.gruppe beschreiben. Hier fallen mir keine ein, weiß nicht, wie ich hier einen Autom. konstruieren soll. Würde mich über eure Hilfe sehr freuen !
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> Ich soll alle Automorphisemn für a) G = Z (ganze Zahlen) /
> 4 und b) G = Z/2 x Z2 finden.
Hallo,
rate ich richtig, daß es hier um Gruppen geht? Sind mit [mm] \IZ/4 [/mm] die Restklassen modulo 4 zusammen mit der Addition gemeint? Das ist eine zyklische Gruppe mit 4 Elementen.
Wenn [mm] \varphi [/mm] ein Automorphismus ist, ist in jedem Fall [mm] \varphi( \overline0)=\overline0.
[/mm]
Jedes andere Element [mm] \overlinek [/mm] aus [mm] \IZ/4 [/mm] kann man schreiben als [mm] \overline{k}=k*\overline1. [/mm] D.h. [mm] \varphi [/mm] ist durch seinen Wert auf [mm] \overline1 [/mm] eindeutig bestimmt (warum?).
Was ist nun für [mm] \varphi(\overline1) [/mm] möglich?. Da [mm] \overline [/mm] auf ein Element gleicher Ordnung abgebildet werden muß, bleibt nicht so furchtbar viel.
Ah, bei näherem Hinsehen ist Deine Idee da unten zu dieser Gruppe nicht übel. Du hast es multiplikativ ausgedrückt.
> Ein Autom. ist ein bijektiver Endomorohismus, also eine
> bijektive Selbstabbildung
> a) f(g) = [mm]g^{-1}[/mm] ist ein Automorphis, denn die Abbildung
> bildet in G ab, ist bijektiv, dann f(g) = g müsste noch ein
> Automormphismus sein oder ? Mehr fallen mir nicht ein. Gibt
> es noch welche ??
Nein. Das ist die Sache mit der Ordnung der Elemente, welche ich oben erwähnte.
>
> b) Ich kann auch statt Angabe der Autom. eonfach die
> Autom.gruppe beschreiben. Hier fallen mir keine ein, weiß
> nicht, wie ich hier einen Autom. konstruieren soll.
Also, EINER ist ja in jeder Automorphismengruppe.
Würde
> mich über eure Hilfe sehr freuen !
Erstmal muß man sich die Gruppe anschauen, es ist eine Kleinsche Vierergruppe. Alle Elemente [mm] \not=0 [/mm] haben die Ordnung zwei. Daß die Null auf die Null abgebildet wird, ist klar.
Mußt Dir also anschauen, welche Möglichkeiten es für die übrigen drei Elemente gibt.
(Permutieren. Man kommt drauf, daß die Automorphismengruppe isomorph ist zu [mm] S_3)
[/mm]
Gruß v. Angela
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