Aut(C_{8}) zyklisch? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm] Aut(C_{8}) [/mm] zyklisch? |
Hallo,
icch komme hier irgendwie nicht weiter. Ich habe bisher herausgefunden, dass es nur 4 Automorphismen für die zyklische Gruppe der Ordnung 8 geben kann, und zwar:
0 [mm] \mapsto [/mm] 0, 1 [mm] \mapsto [/mm] 1, ..., also die Identität
1 [mm] \mapsto [/mm] 3, 2 [mm] \mapsto [/mm] 6, ...
1 [mm] \mapsto [/mm] 5, 2 [mm] \mapsto [/mm] 2,....
1 [mm] \mapsto [/mm] 7, 2 [mm] \mapsto [/mm] 6, ...
Wegen Linearität sind keine beliebigen Kombinationen möglich, die Abbildung wird also schon durch das Bild von 1 eindeutig festgelegt. Damit die Abbildung bijektiv ist, darf kein Element auf 2 verschiedene Elemente geschickt werden, deshalb ist folgende Abb z.B. nicht bijektiv: 1 [mm] \mapsto [/mm] 4, 2 [mm] \mapsto [/mm] 8=0
Mein Problem: Ich weiß, dass [mm] Aut(C_{8}) [/mm] zyklisch ist (gelesen), habe aber keine Ahnung, wie ich das zeigen soll! Die Verknüpfung müsste ja [mm] \circ [/mm] sein, aber so finde ich keinen Erzeuger! Eine der 4 Abbildungen muss aber der Erzeuger sein, sodass ich jede Abb. f schreiben kann als [mm] g^n. [/mm] Aber es sind alles Primzahlen, da komme ich doch nie von [mm] 3^n [/mm] auf 5 oder 7!!!
Wo ist mein Denkfehler? Bitte helft mir! DANKE!
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Hallo!
Kein Denkfehler... die Gruppe ist nicht zyklisch.
Du kannst [mm] $C_8$ [/mm] ja additiv als [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 8\IZ$ [/mm] schreiben. Dann sind die Automorphismen gerade Multiplikation mit Zahlen teilerfremd zu 8, in dem Fall also 1 (gibt die Identität), 3, 5 und 7.
Allerdings haben alle nicht-trivialen Elemente der Gruppe Ordnung 2. Denn [mm] $3^2 [/mm] = 9 [mm] \equiv [/mm] 1 (8)$, [mm] $5^2 [/mm] = 25 [mm] \equiv [/mm] 1 (8)$ und [mm] $7^2 [/mm] = 49 [mm] \equiv [/mm] 1 (8)$.
Damit ist [mm] $Aut(C_8)$ [/mm] isomorph zur Kleinschen Vierergruppe, insbesondere nicht zyklisch.
Es sei denn ich vertu mich gerade ganz gewaltig... 
Lars
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Hallo Lars,
danke erstmal für deine schnelle Antwort!
So in etwa habe ich ja auch gedacht. Aber bei meiner Recherche beim Google-Orakel habe ich halt mehrfach gelesen, dass sie zyklisch ist. Und ein Kommilitone hat das auch so rausgefunden. Er meinte, da auf [mm] C_{8} [/mm] + die Verknüpfung wäre, könnten meine Automorphismen gar nicht homomorph sein...
Verstehst du meine Verwirrung?
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Hallo!
Wie gesagt, 100% sicher bin ich auch nicht, aber es klingt recht schlüssig. Und Du weißt vielleicht, dass es in der Theorie der Wurzelsysteme auch Systeme vom Typ [mm] $C_8$ [/mm] gibt und auch entsprechende Gruppen, die nichts mit der zyklischen Gruppe mit 8 Elementen zu tun haben.
Und wenn Du die [mm] $C_8$ [/mm] lieber anders schreiben willst... nimm einen Erzeuger $g$ der zyklischen Gruppe - der hat dann Ordnung 8. Die ganze Gruppe ist dann einfach [mm] $C_8 [/mm] = [mm] \{ g^0, g^1, g^2, \ldots, g^7 \}$.
[/mm]
Die Multiplikation in der Gruppe entspricht dann der Addition der Exponenten und ein Homomorphismus von [mm] $C_8$ [/mm] auf sich selbst respektiert diese Struktur, das heißt es kommt, wie Du schon gesagt hast, nur darauf an, wo $g$ hingeht, in der additiven Struktur also die 1.
Lars
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