Auswahlaxiom, Wohlordnung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei < eine Wohlordnung auf der Menge M. Zeige, es gibt keine Teilmenge [mm] $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subset [/mm] M$ so, dass [mm] $x_{n+1}
Zeige mit Hilfe des Auswahlaxioms, dass die Umkehrung gilt:
Daher
Sei < lineare Ordnung auf M so, dass es keine Teilmenge
[mm] $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subset [/mm] M$ mit [mm] x_{n+1} |
Hi, ich habe eine kurze Frage zu dieser Aufgabe und zwar beim ersten Teil.
Hier sollte doch folgendes ausreichend sein:
Da < eine Wohlordnung auf M gibt hat M ein kleinstes Element.
[mm] $x_m:=\min [/mm] M$
Dann müsste aber [mm] $x_{m+1}
Zum zweiten Aufgabenteil:
Wie genau wende ich hier das Auswahlaxiom an?
Wir hatten es so formuliert:
[mm] $\forall M\neq\emptyset\left(\forall x\in M\quad x\neq\emptyset\Rightarrow\text{es gibt eine Funktion f mit Definitionsbereich M so, dass für alle}\quad x\in M\quad \text{gilt}:f(x)\in x\right)$.
[/mm]
Also hier muss ich dann ja nur zeigen, dass es immer ein kleinstes Element in jeder Teilmenge gibt.
Das sollte aber auch direkt aus den Eigenschaften einer linearen Ordnung folgen und daher, dass es kein [mm] $x_{n+1}
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Hallo YuSul,
zeige die Kontraposition. Nimm also an, du hast eine nichtleere Teilmenge $ T $ ohne Minimum. Wähle $ [mm] x_1\in [/mm] T $ beliebig. Da $ [mm] x_1$ [/mm] nicht Minimum ist, gibt es kleinere Elemente in $ T $. Definiere nun rekursiv eine streng fallende Folge.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Deine Version des Auswahlaxioms ist sehr unintuitiv. Zu jeder surjektiven Abbildung $ [mm] X\longrightarrow [/mm] Y $ gibt es eine Abbildung $ [mm] Y\longrightarrow [/mm] X $, sodass $( [mm] Y\longrightarrow X\longrightarrow Y)=\operatorname {id}_Y$ [/mm] sagt dasselbe aus und lässt sich viel leichter merken.
Oder kategorientheoretisch formuliert: Jeder Epimorphismus von Mengen spaltet.
P.P.S.: Der erste Aufgabenteil ist natürlich richtig gelöst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Angenommen es gibt eine nicht leere Teilmenge $T:= [mm] \{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subset [/mm] M$ so, dass [mm] $x_{n+1}
Dann hat T kein Minimum, also existieren zu [mm] $x_1\in [/mm] T$ kleinere Elemente.
Rekursive Folge:
[mm] $x_{n+1}=x_n-1$
[/mm]
Oder ist die Folge ungeeignet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat hier jemand noch eine Meinung?
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Du hast mich falsch verstanden. Du sollst zeigen:
Ist $ T $ eine (beliebige) Teilmenge ohne Minimum, so kannst du eine unendlich absteigende Folge in $ T $ definieren.
Das macht man am besten rekursiv, indem man erstmal ein beliebiges Element in $ T $ auswählt. Die Menge der Elemente von $ T $, welche kleiner als dieses sind, ist dann nicht leer, du kannst also ein weiteres Element wählen. Mithilfe des Auswahlaxioms lässt sich auf diese Weise rekursiv eine streng fallende Folge definieren, das sollst du nur noch präzise formulieren.
> Rekursive Folge:
>
> [mm]x_{n+1}=x_n-1[/mm]
>
> Oder ist die Folge ungeeignet?
Die Folge ist vor allem nicht definiert, weil was soll $ [mm] x_n-1$ [/mm] sein in einer völlig beliebigen Menge, in der überhaupt keine Subtraktion definiert ist?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:01 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich möchte also eine fallende Folge konstruieren, was dein mein Widerspruch ist, weil es keine unendlich abfallenden Folgen gibt?
Wie dies rekursiv aussieht habe ich jedoch noch keine Idee.
Ich betrachte also die beliebige nicht leere Teilmenge T, welche kein Minimum hat. Diese enthält dann ein beliebiges Element [mm] $t_1$. [/mm] Wenn ich dieses [mm] $t_1$ [/mm] nun aussonder erhalte ich eine neue Menge $T'$ für die gilt,
[mm] $T'\subset [/mm] T$
diese Menge hat wieder kein Minimum, aber sie enthält wieder ein Element für das es beliebig viele kleinere Elemente gibt.
So könnte ich dann nun mal beliebig weiter aussondern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 29.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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