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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:04 Sa 10.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Ich muss zeigen, daß in einem metrischen Raum jede abgeschlossene Menge als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen dargestellt werden kann und zwar mittels des Auswahlaxioms. |
Hallo, könnt ihr mir bitte helfen?
Ich habe noch nie mit dem Auswahlaxiom gearbeitet, geschweige denn bewiesen.
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Also ich nehme mir einen metrischen Raum $(X,d)$ her und eine Menge [mm] $M\subseteq [/mm] X$, die abgeschlossen ist. Dann ist [mm] $X\setminus [/mm] M$ offen.
Aber wie macht man jetzt weiter mit dem Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Sa 10.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich habe mal ein bisschen was dazu nachgeschlagen und hab diese Idee:
Also erstmal betrachte [mm] $M^C$.
[/mm]
Von dieser Menge weiß man doch jetzt nicht, ob sie aus nicht-leeren Mengen besteht, oder? Sie könnte ja auch einfach aus einzelnen Punkten bestehen?
Aber wenn ich [mm] $M^C$ [/mm] als Indexmenge nehme und [mm] $M_i=\left\{i\right\}$ [/mm] und dann die Menge
[mm] $\tilde M^C=\left\{M_i: i\in M^C\right\}$ [/mm] kann ich dann nicht auf diese Menge das Auswahlaxiom anwenden?
Ist dann nicht
[mm] $M^C=\bigcup_{x\in M^C}\left\{x\right\}=\bigcup_{x\in M^C}M_x$?
[/mm]
Und ist nicht jede einelementige Menge in metrischen Räumen abgeschlossen? Sodass mit de Morgan:
[mm] $M=\left(M^C^\right)^C=\bigcap_{x\in M^C}M_x^C$?
[/mm]
Und [mm] $M_x^C$ [/mm] ist doch offen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:12 Sa 10.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ihr könnt mir ruhig sagen, wenn das totaler Blödsinn ist, nur ich brauche irgendeinen Anstoß um weiterzukommen.
Ich frage mich halt, wo und wie ich hier das Auswahlaxiom anwenden soll, wenn ich nichtmal weiß, wie die abgeschlossene Menge M aussieht.
Deshalb dachte ich, dass man das Auswahlaxiom über einen Umweg so benutzt, daß man zeigt, daß die Menge [mm] $M^C$ [/mm] die Vereinigung [mm] $\bigcup_{x\in M^C}\left\{x\right\}$ [/mm] ist.
Stimmt das überhaupt?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Ich finde Dein Ansatz ist nicht totaler Bloedsinn, jedoch muss [mm] $M^{C}$ [/mm] nicht abzaehlbar sein. Daher koennte man versuchen [mm] $M^{C}$ [/mm] als abzaehlbare Vereinigung abgeschlossener Mengen darzustellen.
Mein Ansatz waere aber anders und benoetigt noch nicht einmal das Auswahlaxiom: Fuer [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $n\in \IN$ [/mm] sei [mm] $U_{x,n}$ [/mm] die offene Kugel um $x$ mit Radius [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm] Setze [mm] $U_{n}:= \cup_{x\in M}$. [/mm] Dann behaupte ich, dass [mm] $U_{n}$ [/mm] offen ist und $A= [mm] \cap_{n\in \IN} U_{n}$.
[/mm]
Wenn man das Auswahlaxiom unbedingt verwenden moechte, koennte man etwas mit Kompaktheit versuchen.
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Hallo hippias,
> Ich finde Dein Ansatz ist nicht totaler Bloedsinn, jedoch
> muss [mm]M^{C}[/mm] nicht abzaehlbar sein. Daher koennte man
> versuchen [mm]M^{C}[/mm] als abzaehlbare Vereinigung abgeschlossener
> Mengen darzustellen.
> Mein Ansatz waere aber anders und benoetigt noch nicht
> einmal das Auswahlaxiom: Fuer [mm]x\in X[/mm] und [mm]n\in \IN[/mm] sei
> [mm]U_{x,n}[/mm] die offene Kugel um [mm]x[/mm] mit Radius [mm]\frac{1}{n}[/mm]. Setze
> [mm]U_{n}:= \cup_{x\in M}[/mm]. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da hast du wohl gemeint: [mm]U_{n}:= \bigcup_{x\in M} U_{x,n} [/mm]
> Dann behaupte ich, dass [mm]U_{n}[/mm] offen
> ist und [mm]A= \cap_{n\in \IN} U_{n}[/mm].
>
> Wenn man das Auswahlaxiom unbedingt verwenden moechte,
> koennte man etwas mit Kompaktheit versuchen.
Mir ist auch nicht klar, weshalb man für diese Aufgabe das
Auswahlaxiom bemühen sollte ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 12.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 12.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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