Austauschsatz von Steinitz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mo 22.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
wir haben als Austauschlemma, wann man einen Vektor einer Basis gegen einen anderen Vektor austauschen kann, ohne die Basiseigenschaft zu verlieren.
Nun haben wir aber auch den Austauschsatz von Steinitz: Sei B eine endliche Basis einen Vektorraumes V und M [mm] \subset [/mm] V eine endliche Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann gilt:
i) |M|<=|B|
[mm] ii)\exists [/mm] B' [mm] \subset [/mm] B mit |M|=|B'|, so dass M [mm] \cup [/mm] (B \ B') wieder eine Basis von V ist.
Irgendwie verstehe ich den Austauschsatz nicht. Kann mir jemand den (mit Worten) erklären? Was sagt der Austauschsatz aus?
Liebe Grüße
Elefanti
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> Nun haben wir aber auch den Austauschsatz von Steinitz: Sei
> B eine endliche Basis einen Vektorraumes V und M [mm]\subset[/mm] V
> eine endliche Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann
> gilt:
> i) |M|<=|B|
> [mm]ii)\exists[/mm] B' [mm]\subset[/mm] B mit |M|=|B'|, so dass M [mm]\cup[/mm] (B \
> B') wieder eine Basis von V ist.
>
> Irgendwie verstehe ich den Austauschsatz nicht. Kann mir
> jemand den (mit Worten) erklären? Was sagt der
> Austauschsatz aus?
Hallo,
Du hast den Vektorraum V mit der Basis [mm] B=(b_1,...,b_n) [/mm] und eine Menge linear unabhängiger Vektoren [mm] M=(m_1,...,m_k)\subseteq [/mm] V.
Es muß [mm] k\le [/mm] n sein, denn B ist ja eine Basis des Vektorraumes.
Wenn man nun die Vektoren in B geeignet numeriert hat, dann ist [mm] (m_1,...,m_k, b_{k+1},...,b_n) [/mm] eine Basis von V.
Die linear unabhängige Teilmenge [mm] B':=(b_1,...,b_k)\subseteq [/mm] B wird durch M ausgetauscht.
Gruß v. Angela
P.S.: Irgendwie scheint in Eurer Vorlesung die Verschleierungstaktik angewendet zu werden... Neulich hattest Du doch schonmal sowas in der Art.
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