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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 04.07.2010 | | Autor: | ggg |
Hi Leute
Folgende Äquivalenz gilt:
[mm] \neg(p\wedge q)=\neg p\vee\neg [/mm] q
Die zugehörige Wahrheitstafel wäre
p q [mm] \neg(p\wedge [/mm] q) [mm] \neg p\vee\neg [/mm] q
w w f f
w f w w
f w w w
f f w w
An sich ist das völlig logisch aber wenn ich die zusammengesetzte Aussage an einem Beispiel veranschauliche, wird das für mich konfus :-?
Beispiel:
p(n) ist die Aussage: n ist eine Primzahl
g(n) ist die Aussage: n ist gerade
u(n) ist die Aussage: n ist ungerade
Nun meine Veranschaulichung 
[mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n))
1- Es ist nicht wahr, das n sowohl eine Primzahl als auch eine ungerade Zahl ist
D.h das n sowohl eine zusammengesetzte Zahl als auch eine gerade Zahl ist
2- Es ist nicht wahr, das n sowohl keine Primzahl als auch n eine gerade Zahl ist
D.h das n sowohl eine Primzahl als auch eine ungerade Zahl ist
3- Es ist nicht wahr, das n sowohl keine Primzahl als auch eine ungerade Zahl ist
D.h das n sowohl eine Primzahl als auch eine gerade Zahl ist
[mm] \neg p(n)\vee\neg [/mm] g(n)
1- Entweder n sei zusammengesetzt oder n ist gerade
2- Entweder n sei prim oder n ist ungerade
3- Entweder n sei prim oder n ist gerade
Sind die im vergleich stehenden Aussaugen soweit so richtig in ihrer Äquivalenz?
Angenommen es sei so richtig, bedeutet das, das beide Aussagen äquivalent sind weil gerade das oder nicht im ausschließenden Sinn gemeint ist?
Ich habe auch versucht zu den zusammengesetzten Aussagen eine passende Antwort zu finden, was mir jedoch schwierig fiel. Ich werde das noch mal zu Kontrolle hier posten, nachdem ich erstmal sicher sein kann, das mir soweit keinen Fehler unterlaufen ist. Jedoch habe ich nicht desto trotz eine Frage dazu , nämlich werden die Disjunkt- Aussagen im nur ausschließendem Sinn oder im nicht ausschließendem Sinn beantwortet. Sofern es im nicht ausschließendem Sinn beantwortet wird, so muss es doch dann jeweils zwei Varianten als Antwort geben, nämlich die Aussage als Ganzes und als Teilaussage (Entweder...oder...). Das heiß die Antwort für für die 3. Aussage:
Entweder n sei prim oder n ist gerade
Wäre folglich: 1- ( Als Ganzes) : n=2
2- (als Teil) : n [mm] \ge [/mm] 3
3- (als Teil) : n [mm] \not= [/mm] 2
Siehe ich das falsch oder ist das so richtig?
Meine weitere Frage wäre wozu man als Erstsemestler die Aussagenlogik benötigt. Gibt sie den Geist, also das zugrunde liegende Prinzip eines Beweises wieder?
Ich wäre für jede Hilfe wirklich dankbar
lg Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 05.07.2010 | | Autor: | oobacke |
Vorab: Da ich faul bin und es so gewohnt bin:
Sei w:=1 f:=0 (also: wahr = 1 und falsch = 0)
Du beschreibst das doch schon ganz gut.
Die Äquivalenz die du beschreibst nennt sich Tautologie. Diese Definiert sich wie folgt:
Eine aussagenlogische Aussageform heißt allgemeingültig (tautologisch /logisch wahr), wenn sie bei JEDER belegung ALLER Variablen mit den Wahrheitswerten stets in eine wahre Aussage übergeht. Jede solche Aussageform heißt ein logisches Gesetz (Tautologie).(Lit. siehe unten)
Was bedeutet das?
Ich nehme an ihr habt bereits die Wahrheitstabellen durchgenommen. Ich werde mich auf die vier wichtigsten beschränken: Konjuktion (UND [mm] "\wedge"), [/mm] Disjunktion (ODER [mm] "\vee"), [/mm] Subjunktion (WENN..., DANN... [mm] "\Rightarrow") [/mm] und Bijunktion (... genau dann, wenn... [mm] "\gdw").
[/mm]
p q $ [mm] \neg(p\wedge [/mm] $ q) [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \neg p\vee\neg [/mm] $ q
w w f w f
w f w w w
f w w w w
f f w w w
Hier habe ich deine Tabelle erweitert, damit du die Äquivalenz (Tautologie) besser erkennst. (Hier ist besonders wichtig, dass du weißt, wie die Wahrheitswertetabelle der Bijunktion aussieht! Wahr: w [mm] \gdw [/mm] w und f [mm] \gdw [/mm] f, falsch: w [mm] \gdw [/mm] f und f [mm] \gdw [/mm] w | Du solltest auch wissen, dass man hier gewissen Regeln folgt, wie beim "Punkt vor Strich": also Punkt bindet stärker als Strich. Hier: NICHT (Negation) bindet stärker als Konjunktion/Disjunktion binden stärker als Subjunktion/Bijunktion - Klammern: analog, wie du es gewohnt bist, die kommen zuerst!)
1- Es ist nicht wahr, das n sowohl eine Primzahl als auch eine ungerade Zahl ist
D.h das n sowohl eine zusammengesetzte Zahl als auch eine gerade Zahl ist
Wenn [mm] \neg(p(n) \wedge [/mm] g(n)) , mit:
p(n) = n ist Prim
g(n) = n ist gerade
dann:
Nicht, n ist Primzahl und n ist gerade
[mm] \gdw [/mm] n ist nicht Primzahl oder n ist nicht gerade
[mm] \gdw [/mm] n ist zusammengesetzte Zahl oder n ist ungerade
In deinen Beispielen ist das etwas durcheinander geraten.
Achte darauf, was du definiert hast, wenn du es einsetzt!
1- Entweder n sei zusammengesetzt oder n ist gerade
Das ist leider in diesem Zusammenhang falsch, wie du selbst unten anmerkst! (Das hier ist die Kontravalenz/Antivalenz/Alternative, also "Entweder ... oder ... "- Aussage - gerne gekennzeichnet mit einem [mm] \vee [/mm] mit punkt darüber (geht hier nicht..))
Bei ODER (auch gerne mathematisches Oder) ist egal welches richtig ist, hauptsache mindestens eins ist richtig, damit die Aussage wahr wird. (vergleiche Wahrheitswertetabelle von ODER)
Bei Entweder ... oder ist die Aussage nur wahr, wenn die Aussagenvariablen ( p, q) verschiedene Wahrheitswerte haben.
Die Tabelle:
p q entweder p oder q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Ich tue mich etwas schwer, dir Hinweise zu den Antworten zu geben, da ich nicht weiß wie ich die Nummerierung verstehen soll.
Ich nehme an, du möchtest alle n [mm] \in \IN =\{1,2,3,4,5, ...\} [/mm] finden, für die diese Aussage gilt.
Zu 1.:
Überlege erneut! Du weißt das bei der Disjunktion (ODER) nur eine Aussagenvariable mit w belegt sein muss, damit die Aussage wahr wird. Schau dir nochmals die Wahrheitswertetabelle an (oder google -> Bilder).
Was darf dein n also sein? was darf es nicht sein?
zu 2.:
Überlege erneut! siehe zu 1.
zu 3.:
Überlege erneut! siehe zu 1.
Wozu man die Aussagenlogik benötigt? Ja, für Beweise ist sie elementar. Sie ist die Grundlage für die ganze Logik in der Mathematik!
Hoffe ich konnte dir ein wenig helfen, bin auf deine Antworten gespannt.
Grüße,
Christoph
Literatur:
Aussagenlogik, Mengen, Relationen - Hans-Dieter Gerster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 16.07.2010 | | Autor: | ggg |
Sry das ich mich nicht vorher melden konnte. War eine lange Zeit wegen Autokauf beschäftigt. Und noch mal vielen Dank für deine Mühe und Hilfe, die hat unheimlich viel geholfen
Zurück zum Thema:
Folgende Wahrheitstabelle haben wir aufgestellt, die ich nummeriert habe:
p q $ [mm] \neg(p\wedge [/mm] $ q) $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] \neg p\vee\neg [/mm] $ q
1) w w f w f
2) w f w w w
3) f w w w w
4) f f w w w
Folgendes sei definiert:
p(n) ist die Aussage: n ist eine Primzahl
g(n) ist die Aussage: n ist gerade
u(n) ist die Aussage: n ist ungerade
Dieses wäre dann anschließend laut der Wahrheitstabelle äquivalent zu der Aussage
[mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n))
[mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] g(n)
1) Nicht, n ist Primzahl und n ist gerade [mm] \gdw [/mm] n ist zusammengesetzt oder n ist ungerade
2) Nicht, n ist Primzahl und n ist ungerade [mm] \gdw [/mm] n ist zusammengesetzt oder n ist gerade
3) Nicht, n ist zusammengesetzt und n ist gerade [mm] \gdw [/mm] n ist Primzahl oder n ist ungerade
4) Nicht, n zusammengesetzt und n ist ungerade [mm] \gdw [/mm] n ist Primzahl oder n ist gerade
Anschließend habe ich versucht das n zu untersuchen, Dabei ich habe ich mir folgende Frage gestellt, nämlich wie müsse das n aussehen. Fakt ist dass das n sowohl für die Konjunktion Aussage als auch für die Disjunktion Aussage das selbe n ergeben muss, das sie ja miteinander äquivalent sind
Auf zu der Konjunktions-Aussage!!!
[mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n))
1) Das n sehe wie Folgt aus: [mm] u(n)\in\IN\setminus \IP [/mm] , d.h
{ 1,9,15,21,...}
2) Das n sehe wie Folgt aus: [mm] g(n)\in\IN\setminus \IP [/mm] , d.h
{4,6,8,10,...}
3) Das n sehe wie Folgt aus: [mm] u(n)\in\IP [/mm] , d.h
{3,5,7,11,...}
4) Das n sehe wie Folgt aus: [mm] g(n)\in\IP [/mm] , d.h
{2}
Wollte ich nun das n der Disjunktions-Aussage überprüfen, um letztendlich die Äquivalenz der beiden Aussagen zu erkennen , zeigten sich bei mir folgende Probleme. Nämlich die Konjunktion- Aussage ist eindeutig, d.h ist die Aussage ist dann wahr wenn beide Teilaussagen wahr sind. Demzufolge kann man eindeutig feststellen ob sie eindeutig wahr ist Hingegen ist die Disjunktions-Aussage sowohl eindeutig als auch zweideutig (Entweder... oder...), da sowohl beide Teilaussagen wahr sein müssen als auch ein Teil von ihr, um als Ganzen wahr zu sein.
Ich sehe in meinem Beispiel die Äquivalenz der Konjunktion- und Disjunktions-Aussage in ihrer Eindeutigkeit und nicht in der Zweideutigkeit der Disjunktions-Aussage. Ich weiß auch nicht wie man das miteinander vereinbaren kann, da es in der Konjunktion-Aussage keine Zweideutigkeit gibst. Das ist auch der Grund warum ich nicht das n in der Disjunktions-Aussage richtig identifizieren kann.
lg Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 16.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Sry das ich mich nicht vorher melden konnte. War eine lange
> Zeit wegen Autokauf beschäftigt. Und noch mal vielen Dank
> für deine Mühe und Hilfe, die hat unheimlich viel
> geholfen
> Zurück zum Thema:
>
> Folgende Wahrheitstabelle haben wir aufgestellt, die ich
> nummeriert habe:
>
> p q [mm]\neg(p\wedge[/mm] q) [mm]\gdw[/mm] [mm]\neg p\vee\neg[/mm] q
>
> 1) w w f w f
> 2) w f w w w
> 3) f w w w w
> 4) f f w w w
>
>
> Folgendes sei definiert:
> p(n) ist die Aussage: n ist eine Primzahl
> g(n) ist die Aussage: n ist gerade
> u(n) ist die Aussage: n ist ungerade
>
> Dieses wäre dann anschließend laut der Wahrheitstabelle
> äquivalent zu der Aussage
>
> [mm]\neg(p(n)\wedge[/mm] g(n))
> [mm]\neg p(n)\vee \neg[/mm] g(n)
>
> 1) Nicht, n ist Primzahl und n ist gerade [mm]\gdw[/mm] n ist
> zusammengesetzt oder n ist ungerade
>
> 2) Nicht, n ist Primzahl und n ist ungerade [mm]\gdw[/mm] n ist
> zusammengesetzt oder n ist gerade
>
> 3) Nicht, n ist zusammengesetzt und n ist gerade [mm]\gdw[/mm] n ist
> Primzahl oder n ist ungerade
>
> 4) Nicht, n zusammengesetzt und n ist ungerade [mm]\gdw[/mm] n ist
> Primzahl oder n ist gerade
>
> Anschließend habe ich versucht das n zu untersuchen,
> Dabei ich habe ich mir folgende Frage gestellt, nämlich
> wie müsse das n aussehen. Fakt ist dass das n sowohl für
> die Konjunktion Aussage als auch für die Disjunktion
> Aussage das selbe n ergeben muss, das sie ja miteinander
> äquivalent sind
>
> Auf zu der Konjunktions-Aussage!!!
>
> [mm]\neg(p(n)\wedge[/mm] g(n))
>
> 1) Das n sehe wie Folgt aus: [mm]u(n)\in\IN\setminus \IP[/mm] , d.h
> { 1,9,15,21,...}
So richtig hast du es vermutlich nicht verstanden.
"Primzahl UND gerade" gilt nur für die 2. Die Negation davon gilt also für alle nat. Zahlen außer 2 (und nicht nur für deine aufgezählten ungeraden Zahlen).
>
> 2) Das n sehe wie Folgt aus: [mm]g(n)\in\IN\setminus \IP[/mm] , d.h
> {4,6,8,10,...}
In dieser Aufzählung fehlt die 2 (sie ist zwar Primzahl, aber nicht ungerade).
>
> 3) Das n sehe wie Folgt aus: [mm]u(n)\in\IP[/mm] , d.h
> {3,5,7,11,...}
Es fehlen z.B. die 2 und die 9.
>
> 4) Das n sehe wie Folgt aus: [mm]g(n)\in\IP[/mm] , d.h
> {2}
>
> Wollte ich nun das n der Disjunktions-Aussage überprüfen,
> um letztendlich die Äquivalenz der beiden Aussagen zu
> erkennen , zeigten sich bei mir folgende Probleme. Nämlich
> die Konjunktion- Aussage ist eindeutig, d.h ist die Aussage
> ist dann wahr wenn beide Teilaussagen wahr sind. Demzufolge
> kann man eindeutig feststellen ob sie eindeutig wahr ist
> Hingegen ist die Disjunktions-Aussage sowohl eindeutig als
> auch zweideutig (Entweder... oder...), da sowohl beide
> Teilaussagen wahr sein müssen als auch ein Teil von ihr,
> um als Ganzen wahr zu sein.
>
> Ich sehe in meinem Beispiel die Äquivalenz der
> Konjunktion- und Disjunktions-Aussage in ihrer
> Eindeutigkeit und nicht in der Zweideutigkeit der
> Disjunktions-Aussage. Ich weiß auch nicht wie man das
> miteinander vereinbaren kann, da es in der
> Konjunktion-Aussage keine Zweideutigkeit gibst. Das ist
> auch der Grund warum ich nicht das n in der
> Disjunktions-Aussage richtig identifizieren kann.
>
> lg Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 17.07.2010 | | Autor: | ggg |
Mein Denkfehler ist mir auch gestern in der Busfahrt eingedämmert.
Richtig würde es nun heißen:
[mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n)) [mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] g(n)
1) [mm] \neg(n=2) \gdw \neg(n=2)
[/mm]
2) [mm] \neg(u(n)\in\IP) \gdw \neg(u(n)\in\IP)
[/mm]
3) [mm] \neg(g(n)\in\IN\setminus\IP) \gdw \neg(g(n)\in\IN\setminus\IP)
[/mm]
4) [mm] \neg(u(n)\in\IN\setminus\IP) \gdw \neg(u(n)\in\IN\setminus\IP)
[/mm]
Ich hätte da aber eine Frage und das nämlich bei den Fachwörtern.
Kann man statt Äquivalenz auch Bijunktion sagen
und statt Implikation auch von Subjunktion sprechen.
Bedeuten sie das Eine und das Selbe?
lg
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 19.07.2010 | | Autor: | oobacke |
Hey,
nein die Bijunktion ist nicht gleich der Äquivalenz!
Def. Äquivalenz (Aussagen):
Sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] aussagenlogische Aussageformen, so bezeichnen wir jede Tautologie von der Form [mm] \alpha \gdw \beta [/mm] als eine logische Äquivalenz. Anstelle von [mm] "\alpha[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich] [mm] \beta [/mm] ist eine Tautologie" schreiben wir " [mm] \alpha \gdw \beta [/mm] " und lesen: [mm] \alpha [/mm] ist logisch Äuivalent (zu) [mm] \beta [/mm] .
Das Problem im Forum ist, dass die Bezeichnung falsch ist, wenn du es ganz genau nimmst: Ein Doppelpfeil [Dateianhang nicht öffentlich] ist nicht gleich [mm] \gdw
[/mm]
auch wenn es hier im Forum so behandelt wird. Der Unterschied steht in der Definition:
Wenn wir also zwei Aussagen haben:
$ [mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] $ g(n)) [Dateianhang nicht öffentlich] $ [mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] $ g(n) werde diesen erst äquivalent, wenn du bewiesen hast, dass sie den selben Wahrheitswerteverlauf haben (also Bijunktion zwischen ihnen prüfen). Dann darfst du schreiben:
$ [mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n)) $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] g(n) $
Die (logische) Implikation verhält sich analog:
Sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] aussagenlogische Aussageformen, so bezeichnen wie jede Tautologie der Form [mm] \alpha \to \beta [/mm] als eine logische Implikation. Dann wird [mm] \alpha \to \beta [/mm] zu [mm] \alpha \Rightarrow \beta [/mm] und man spricht: $ [mm] \alpha [/mm] $ impliziert $ [mm] \beta [/mm] $ .
1) $ [mm] \neg(n=2) \gdw \neg(n=2) [/mm] $
2) $ [mm] \neg(u(n)\in\IP) \gdw \neg(u(n)\in\IP) [/mm] $
3) $ [mm] \neg(g(n)\in\IN\setminus\IP) \gdw \neg(g(n)\in\IN\setminus\IP) [/mm] $
4) $ [mm] \neg(u(n)\in\IN\setminus\IP) \gdw \neg(u(n)\in\IN\setminus\IP) [/mm] $
Was willst du damit ausdrücken? Das brauchst du nicht, du hast einfach die Aussage selbst wieder hinter die Äquivalenz geschrieben. Das ist zwar richtig, bringt dir hier aber nichts.
Ich habe das Gefühl, dass dir noch nicht ganz klar ist, was das heißt:
$ [mm] \neg(p(n)\wedge [/mm] g(n)) $ $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] g(n) $
Die Aussagen sind äquivalent (gleich). Welche Zahlen haben diese Eigenschaften?
Gehe so vor:
betrachte nur: [mm] $(p(n)\wedge [/mm] g(n)) $
also: Welche Zahlen sind primzahl und gerade?
Nun hast du die Zahl(en) und da eigentlich davor eine Negation steht (eine Verneinung): sind es alle Zahlen außer den Zahlen die du gefunden hast,
also alle Zahlen die:
$ [mm] \neg p(n)\vee \neg [/mm] g(n) $
also: alle natürlichen Zahlen, die nicht Primzahlen sind
und alle natürlichen Zahlen, die nicht gerade sind
Also alle natürlichen Zahlen außer 2.
Hoffe das hilft dir
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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