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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 13.05.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, A [mm] \in K^{m \times n} [/mm] mit m,n [mm] \in \mathbb [/mm] N und b [mm] \in K^{m \times 1}. [/mm] Sind die folgenden Aussagen richtig?
1) Wenn [mm] \varphi_A [/mm] : [mm] K^n \to K^m, [/mm] x [mm] \to [/mm] Ax injektiv ist, dann ist m >=n.
2) Wenn es ein c [mm] \in K^{m \times 1} [/mm] so gibt, dass Ax=c eine eindeutige Lösung hat, dann hat Ax=b auch eine eindeutige Lösung.
3) Für alle c [mm] \in K^{m \times 1} [/mm] gibt es eine Bijektion zwischen der Lösungsmenge von Ax=b und der von Ax=c.
4) Falls m=n ist und Ax=0 nicht eindeutig lösbar ist, dann ist Ax=c für alle c [mm] \in K^{m \times 1} [/mm] unlösbar. |
Hi!
Die obigen Fragen machen mich irgendwie fertig. Sowieso ist heute nicht grad mein intelligentester Tag^^ ;)
Also, ich habe vor allem Probleme damit, dass A nicht quadratisch sein muss und ich deswegen nicht weiß, ob ich die Regeln für regülare Matrizen vernünftig anwenden darf.
Was ich mir bisher gedacht habe:
1) Aufgrund der Abbildung dürfte Ax=0 nur trivial lösbar sein. Aber daraus muss ja jetzt nicht folgen, dass A regulär ist, richtig? Ich weiß also nicht ob m=n gelten muss. Bzw...wenn die Abbildung injektiv ist, dann gibt es ja zu jedem x nur eine Lösung. Ich weiß, dass die Folgerung gilt:
A regulär [mm] \Rightarrow [/mm] Ax=b für alle b [mm] \in [/mm] K eindeutig lösbar, aber das gilt wahrscheinlich nicht anders herum?
2) Wäre A quadratisch, dann wäre das richtig. Denn es würde folgen, dass A regülar ist und damit ist die Aussage richtig. Da A aber nicht quadratisch sein muss, ist die Aussage vielleicht doch falsch?
3) Hängt wohl stark mit 2) zusammen. Wenn 2 richtig ist, ist 3) auch richtig, und bei falsch, ist sie auch falsch.
4) Hm...A scheint mir quadratisch, aber nicht regulär zu sein. Trotzdem würde ich sagen die Aussage ist falsch. Wieso soll denn auf einmal jede Gleichung unlösbar sein? Richtig wäre vermutlich, dass Ax=c nicht immer eindeutig lösbar ist.
Überhaupt ist das für mich noch ein ziemliches Durcheinander. Ich könnte vielleicht die Regeln soweit es geht lernen, aber ich verstehe dabei meist nicht, warum das so ist :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Di 13.05.2008 | | Autor: | lenz |
hi
kann mich nur zu eins sicher äußern:
die matrix multiplikation ist nur zwischen matrizen definiert bei denen der spaltenrang der linken
matrix mit zeilenrang der rechten matrix übereinstimmt.das ergebnis ist eine matrix mit dem
zeilenrang der linken und dem spaltenrang der rechten,wovon du dich an ein paar einfachen beispielen überzeugen solltest.dein x ist eine [mm] n\times [/mm] 1 matrix.
in zeichen [mm] :A^{m\times n} *B^{n\times r}=C^{m\times r} [/mm] das ergebnis hängt also nicht von n ab
gruß lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 13.05.2008 | | Autor: | lenz |
hi
sorry ich vergess immer das der post jetzt als beantwortet behandelt wird,
du wirst noch mal eine frage stellen müssen damit er wieder als unbeantwortet gilt
lenz
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:57 Di 13.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo lenz,
> kann mich nur zu eins sicher äußern:
> die matrix multiplikation ist nur zwischen matrizen
> definiert bei denen der spaltenrang der linken
> matrix mit zeilenrang der rechten matrix übereinstimmt.das
> ergebnis ist eine matrix mit dem
Hier von Spaltenrang und Zeilenrang zu sprechen ist etwas unglücklich, da dies ja anders definierte Begriffe sind. Du meinst hier wahrscheinlich "Zeilenanzahl" und "Spaltenanzahl".
Der Zeilen- bzw. Spaltenrang dahingegen ist ja die (maximale) Anzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten einer Matrix.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 13.05.2008 | | Autor: | lenz |
du hast recht (ich hätte das sicher besser weglassen sollen)
lenz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Wimme |
hallo!
Leider haben mir eure Antworten nicht viel weiter geholfen.
Ich frage mich immernoch:
1)Gilt: A*x = b hat, wenn eine Lösung existiert, eine eindeutige => A ist regulär?
2) Das ist richtig für quadratische Matrizen. Aber wie ist das wenn A nicht quadratisch sein muss?
3) hängt stark mit 2) zusammen
4) A ist nicht regulär, dass heißt esmuss nicht zu jedem c eine eindeutige Lösung geben. Heißt das aber nun, dass Ax=c für alle c unlösbar ist?
Hoffe jemand kann sich die Fragen nochmal genau anschauen.
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> Es sei K ein Körper, A [mm]\in K^{m \times n}[/mm] mit m,n [mm]\in \mathbb[/mm]
> N und b [mm]\in K^{m \times 1}.[/mm] Sind die folgenden Aussagen
> richtig?
> 1) Wenn [mm]\varphi_A[/mm] : [mm]K^n \to K^m,[/mm] x [mm]\to[/mm] Ax injektiv ist,
> dann ist m >=n.
> Aufgrund der Abbildung dürfte Ax=0 nur trivial lösbar
> sein.
Hallo,
ja, so ist es. Der Kern von [mm] \varphi_A [/mm] =0, da sie Abbildung injektiv ist.
Ich finde es hier am einfachsten, so zu überlegen: bei einer injektiven Abbildung muß die Basis des Startraumes auf eine Basis des Zielraumes abgebildet werden.
Welche Dimension muß der Zielraum also mindestens haben?
> Aber daraus muss ja jetzt nicht folgen, dass A
> regulär ist, richtig?
Richtig.
> Ich frage mich immernoch:
> Gilt: A*x = b hat, wenn eine Lösung existiert, eine
> eindeutige => A ist regulär?
Betrachte [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\0&0 }\vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2\\0}
[/mm]
> 2) Wenn es ein c [mm]\in K^{m \times 1}[/mm] so gibt, dass Ax=c
> eine eindeutige Lösung hat, dann hat Ax=b auch eine
> eindeutige Lösung.
> Wäre A quadratisch, dann wäre das richtig. Denn es würde
> folgen, dass A regülar ist und damit ist die Aussage
> richtig. Da A aber nicht quadratisch sein muss, ist die
> Aussage vielleicht doch falsch?
Betrachte [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\0&0 }\vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2\\0}
[/mm]
und
Betrachte [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\0&0 }\vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2\\3}.
[/mm]
>
> 3) Für alle c [mm]\in K^{m \times 1}[/mm] gibt es eine Bijektion
> zwischen der Lösungsmenge von Ax=b und der von Ax=c.
> 3) hängt stark mit 2) zusammen
Ja.
Bei dem von mir gebrachten Beipiel siehst Du, daß es diese Bijektion in diesem Fall nicht gibt, denn die erste Lösungsmenge enthält ein Element, die zweite ist leer.
Allerdings: in dem Fall, daß Ax=b und der von Ax=c tatsächlich beide eine Lösung haben, kannst Du die Lösungsmengen bijektiv aufeinander abbilden.
Es hängt damit zusammen, daß man die Lösungsmenge eines inhomogenen GSs erhält, indem man zu einer speziellen Lösung die Lösungsmenge des Homogenen Systems addiert.
> 4) Falls m=n ist und Ax=0 nicht eindeutig lösbar ist, dann
> ist Ax=c für alle c [mm]\in K^{m \times 1}[/mm] unlösbar.
>Hm...A scheint mir quadratisch, aber nicht regulär zu
> sein. Trotzdem würde ich sagen die Aussage ist falsch.
> Wieso soll denn auf einmal jede Gleichung unlösbar sein?
Eben.
Betrachten wir
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0}\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Der Lösungsraum ist [mm] <\vektor{1 \\ -1}>.
[/mm]
Keinesfalls ist
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0}\vektor{x \\ y}=\vektor{2\\ 0} [/mm] unlösbar.
Eigentlich wäre es Deine Aufgabe, solch kleine Beispiele, wie ich sie Dir gebracht habe, selbst zu erfinden.
Gruß v. Angela
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