Aussagen über LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Sa 10.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind richtig:
a) Ein LGS mit n Gleichungen in n Unbekannten ist immer lösbar.
b) Wenn ein LGS mit n Gleichungen in n Unbekannten lösbar ist, dann ist es eindeutig lösbar.
c) Die Lösungen eines LGS erfüllen alle Gleichungen des Systems. Werte, die nur eine Gleichung nicht erfüllen, sind keine Lösung.
d) Ein LGS, das weniger Gleichungen als Unbekannte hat, kann eindeutig lösbar sein.
e) Ein LGS, das mehr Gleichungen als Unbekannte hat, ist nicht lösbar.
f) Es gibt ein LGS, das genau zwei verschiedene Lösungen hat. |
moin,
also hier habe ich nur c) als richtige Aussage herausgefunden. ist das korrekt?
gruß
wolfgang
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a) fasch, denn betrachte beispielsweise folgendes LGS:
x + y = 1
x + y = 2
(2 Gleichungen und 2 Unbekannte, aber du wirst keine Lösung finden)
b) falsch, denn bspw.:
x + y = 1
2x + 2y = 2
(2 Gleichungen, 2 Unbekannte, aber x=0,y=1 löst es genauso wie x=1,y=0, also keine Eindeutigkeit [liegt daran, dass eine Gleichung eine Linearkombination aus anderen sein kann (hier als Vielfaches einer anderen Gleichung)]
c) hast du Recht (Definitionsfrage)
d) falsch, denn wenn du mehr Unbekannte als Gleichungen hast, dann kommst du immer soweit, dass du eine Variable (freie Variable) beliebig wählen kannst, um die anderen zu bestimmen, siehe etwa:
x + y = 1 ( 1 Gleichung, 2 Unbekannte), dann hängt y von der Wahl von x ab (oder umgekehrt), nämlich y = 1 - x. Und je nachdem was x ist, ist y was anderes und so hat dieses System viele Lösungen.
e) falsch, Gegenbeispiel:
x + y = 4
2x + 2y = 8
x = 1
(3 Gleichungen, 2 Unbekannte, ist lösbar mit x = 1, y = 3. Es hängt immer davon, wie die Gleichungen aussehen. Sind sie Linearkombinationen von anderen Gleichungen oder nicht. Hier ist die 2. Gleichung ein Vielfaches von der ersten. du kannst also auf die Gleichung verzichten und führst das ursprüngliche System mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen zurück auf ein System mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten)
f) nein, entweder ein LGS ist eindeutig lösbar oder es hat (unendlich) viele Lösungen oder eben es ist nicht lösbar.
FAZIT: Allgemein kann man fast keine Behauptung über die Lösbarkeit stellen, weil es immer darauf ankommt, wie die Gleichungen aussehen. Ein überbestimmtes Gleichungssystem (mehr Gleichungen als Unbekannte) kannst du unter Umständen zurückführen auf ein System , wo du eben mehr Unbekannte hast als Gleichungen, weil z.B. viele Gleichungen des Ursprungssystems Vielfache von anderen Gleichungen waren und daher vernachlässigt werden können, da sie keine zusätzlichen Bedingungen an die Lösungswerte stellen.
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