Aussagen im metrischen Raum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (M,d) ist ein metrischer Raum. Zeige, das folgende Aussagen erfüllt sind.
a) endliche Schnitte offener Mengen sind offen
b) beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen
c) beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen
d) endliche Vereinigungen angeschlossener Mengen sind abgeschlossen. |
okay...auch wenn das jetzt etwas viel ist..würde mich freuen, wenn es jemand korrigieren könnte.
Ich habe definiert (falls ich das so machen kann???) :
[mm] F_j [/mm] bzw. [mm] F_k [/mm] ist eine Familie und eine Teilmenge von X. j bzw. k sind beliebige Indexmengen.
a)
Sei [mm] x\in [/mm] F beliebig. Dann liegt auch x in jedem [mm] F_k, [/mm] k=1,...,n und wegen der -Offenheit jeder dieser Mengen gibt es jeweils ein [mm] \epsilon [/mm] >0, sodass gelten muss [mm] (U_\epsilon_{k}(x)\cap X)\subset F_k. [/mm] Ist dann [mm] \epsilon:= min(\epsilon_1,...,\epsilon_n). [/mm] Dann gilt also [mm] (U_\epsilon(x)\cap X)\subset (U_\epsilon_{k} (\mu)\capX)\subset F_k [/mm] . Also liegt [mm] (U_\epsilon(x)\cap [/mm] X)komplett innerhalb jeder Menge [mm] F_k [/mm] und damit auch komplett im Durchschnitt all dieser Mengen: [mm] (U_\epsilon(x)\cap X)\subset [/mm] F.
b)
j ist nicht leer. Sei [mm] x\in [/mm] F ein beliebiges Element in der Vereinigung aller -offenen Mengen. Dann gibt es ein [mm] j\in [/mm] J, sodass [mm] x\in F_j [/mm] liegt. Da [mm] F_j [/mm] relativ offen bezüglich X ist, existiert eine Umgebung U(x) mit [mm] (U(x)\cap [/mm] X) [mm] \subset K_j [/mm] . Wegen der trivialen Inklusion [mm] K_j \subset [/mm] K ist somit auch [mm] (U(x)\cap [/mm] X) [mm] \subset K_j. [/mm] Dies bedeutet aber gerade, dass K relativ offen bezüglich X ist.
c)
j darf nicht leer sein. Ist dann [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge, deren Glieder in F liegen , mit dem Grenzwert [mm] x\in [/mm] X . Da j nicht leer ist, existiert mindestens ein Element in J. [mm] j\in [/mm] J ist beliebig. Für alle [mm] n\in \IN_0 [/mm] liegt dann auch [mm] x_n [/mm] in [mm] F_j. [/mm] Wegen der Abgeschlossenheit der Menge liegt auch der Grenzwert x in [mm] F_j. [/mm] Da [mm] j\in [/mm] J beliebig ist, gilt [mm] x\in F_j [/mm] für alle [mm] j\in [/mm] J und damit auch [mm] x\in [/mm] F . Das zeigt die Abgeschlossenheit von F.
d)
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge, deren Glieder alle in F liegen , mit dem Grenzwert [mm] x\in [/mm] X. Lägen in jedem [mm] F_k [/mm] nur endlich viele Folgenglieder, so würde das gleiche auch für F gelten, im Widerspruch zur Definition einer Folge. Es gibt daher eine Menge [mm] F_k, [/mm] in der unendlich viele Folgenglieder liegen, in der also eine Teilfolge [mm] (x_n) [/mm] liegt. Diese Teilfolge konvergiert gegen x und da [mm] F_k [/mm] abgeschlossen bezüglich X ist, liegt x somit in [mm] F_k [/mm] und also auch in F.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 29.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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