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Aussage f. Grenzwerte beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mi 15.12.2010
Autor: el_grecco

Aufgabe
Es soll gezeigt werden:

Es seien [mm] $(x_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_{n}) \in \IN$ [/mm] reelle Folgen und $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$ [/mm] und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y.$ [/mm]

Dann gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}.$ [/mm]

Hallo,

ich habe große Schwierigkeiten die zu beweisende Aussage

"Dann gilt: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}$" [/mm]

zu verstehen.
Ich interpretiere das so, dass das Maximum zweier Folgen das Maximum ihrer Grenzwerte ist...

Kann jemand die zu beweisende Aussage bitte auf "Deutsch übersetzen"?


Vielen Dank!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Mi 15.12.2010
Autor: reverend

Hallo el_grecco,

es gibt zwei Folgen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n. [/mm] Beide sind konvergent. [mm] x_n [/mm] konvergiert gegen x, [mm] y_n [/mm] gegen y.

Die Behauptung ist nun:

Voraussetzung:
Vergleicht man beide Folgen gliedweise miteinander, erhält man eine neue Folge $ [mm] z_n [/mm] $, die wie folgt definiert ist:

[mm] z_n=\text{max}(x_n,y_n) [/mm]

Folgerung:
Auch [mm] z_n [/mm] ist konvergent und konvergiert gegen [mm] \text{max}(x,y). [/mm]

Gut, das ist noch nicht ganz in einfachen Worten, aber vielleicht trotzdem etwas verständlicher...

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 16.12.2010
Autor: el_grecco

Aufgabe
Es soll gezeigt werden:

Es seien $ [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ und $ [mm] (y_{n}) \in \IN [/mm] $ reelle Folgen und $ x,y [mm] \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x [/mm] $ und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y. [/mm] $

Dann gilt: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}. [/mm] $


Hallo rev,

---
eins vorweg: bitte nur auf diese Frage reagieren, wenn es Deine Zeit wirklich zulässt, denn anscheinend wird es nächste Woche im Tutorium diese Aufgabe in der min-Variante geben und dieses Wissen sollte ich dann auf diese Aufgabe erfolgreich anwenden können.
---

> es gibt zwei Folgen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n.[/mm] Beide sind konvergent. [mm]x_n[/mm]
> konvergiert gegen x, [mm]y_n[/mm] gegen y.
>  
> Die Behauptung ist nun:
>
> Voraussetzung:
>  Vergleicht man beide Folgen gliedweise miteinander,
> erhält man eine neue Folge [mm]z_n [/mm], die wie folgt definiert
> ist:
>
> [mm]z_n=\text{max}(x_n,y_n)[/mm]

genau hier sind meine zwei Probleme:

1.) Sieht dieser Vergleich so

[mm] $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{1}$, $x_{2}$ [/mm] mit [mm] $y_{2}$, [/mm] usw.

oder so

[mm] $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{1}$, $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{2}$ [/mm] aus?

2.) Was ist eigentlich der Gegenstand des Vergleichs... sucht man ein bestimmtes Glied (egal ob aus [mm] $x_{n}$ [/mm] oder aus [mm] $y_{n}$), [/mm] das den höchsten Wert liefert und hiermit wird [mm] $z_{n}$ [/mm] "initialisiert" (doofer Informatiker-Jargon ;-) )?


> Folgerung:
>  Auch [mm]z_n[/mm] ist konvergent und konvergiert gegen
> [mm]\text{max}(x,y).[/mm]
>  
> Gut, das ist noch nicht ganz in einfachen Worten, aber
> vielleicht trotzdem etwas verständlicher...

Ehrlich: das mit der Folge [mm] $z_{n}$ [/mm] hat das sehr schön veranschaulicht, auch wenn ich zugeben muss, dass ich von alleine niemals darauf gekommen wäre...

> Grüße
>  reverend

Vielen Dank
und
Viele Grüße!

el_grecco

Bezug
                        
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Do 16.12.2010
Autor: leduart

Hallo
in der Aufgabe steht deutlich [mm] max(x_n,y_n) [/mm] wenn du für n Zahlen einsetzt sollte 1) beantwortet sein.  damit auch was "verglichen" wird.
2. man will was über die neue folge [mm] z_n [/mm] aussagen:
Bsp [mm] x_n [/mm] =1,1/4,1/8,1/16...
[mm] y_n=1/2, [/mm] 1/3, 1/6,1/12
[mm] z_n=1,1/3,1/4,1/6,1/12 [/mm]
Gruss leduart


Bezug
        
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Fr 17.12.2010
Autor: fred97

Tipp:

                max {a,b} = [mm] \bruch{a+b+|a-b|}{2} [/mm]

FRED

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Aussage f. Grenzwerte beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Fr 17.12.2010
Autor: el_grecco

Danke für den Tipp, Fred.

In der nächsten Woche wird diese Aufgabe anscheinend als min-Variante im Tutorium besprochen. Wenn ich den Beweis für min sehe, sollte ich keine Schwierigkeiten mehr haben, die Variante mit max zu beweisen.

Gruß
el_grecco


Bezug
                        
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Fr 17.12.2010
Autor: fred97


> Danke für den Tipp, Fred.
>  
> In der nächsten Woche wird diese Aufgabe anscheinend als
> min-Variante im Tutorium besprochen. Wenn ich den Beweis
> für min sehe, sollte ich keine Schwierigkeiten mehr haben,
> die Variante mit max zu beweisen.

Komisch, mit meinem Tipp ist das doch fast trivial:

       max { [mm] x_n,y_n [/mm] } = $ [mm] \bruch{x_n+y_n+|x_n-y_n|}{2} \to \bruch{x+y+|x-y|}{2}$= [/mm] max { x,y }

FRED

>  
> Gruß
>  el_grecco
>  


Bezug
                                
Bezug
Aussage f. Grenzwerte beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Fr 17.12.2010
Autor: el_grecco

Danke, Fred!

Jetzt hast Du mir einen Grund gegeben, nächste Woche das Tutorium zu meiden! Spaß beiseite... ;-)

Gruß
el_grecco


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