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| Aufgabe | Wird ein Fahrzeug aus der Geschwindigkeit v auf Stillstand abgebremst, so setzt man für den Bremsweg y in Abhängigkeit von v folgende Gesetzmäßigkeit an: [mm] y=av^{2}+bv [/mm] .
Zur Bestimmung von a und b werden 3 Messungen durchgeführt:
[mm] v_{i}[\bruch{m}{s}]: [/mm] 9 17 25
[mm] y_{i}[/mm] [m]: 3 9 14
Da die Messungen ungenau sind, gibt es kein Tupel (a, [mm] b)\in\IR^{2}, [/mm] sodass [mm] y=av_{i}^{2}+bv_{i} [/mm] für alle
i = 1, 2, 3 gilt. Gesucht ist deswegen die ” im quadratischen Mittel beste” oder ”ausgleichende” Wahl von (a, b), d.h., es wird das Minimum der Funktion
[mm] \IR^{2}\in(a,b)\mapsto\summe_{i=1}^{3}(y_{i}-av_{i}^{2}+bv_{i})^{2} [/mm] gesucht.
a) Dieses Problem lässt sich allgemein als Minimalproblem formulieren:
Gegeben sei eine n×m-Matrix A mit n > m und ein Vektor [mm] Y\in\IR^{n}. [/mm] Gesucht ist ein Minimum der Abbildung [mm] \IR^{m}\in X\mapsto \parallel Y-AX\parallel^{2}. [/mm]
Bestimmen Sie die Matrix A und den Vektor Y für das obige Problem.
b) Zeigen: Sie [mm] X_{0}\in \IR^{m} [/mm] löst da Minimalproblem genau dann, wenn [mm] A^{T}AX_{0}=A^{T}Y.
[/mm]
c) Lösen Sie das Minimalproblem für obiges Beispiel. |
Hallo,
also zuerst einmal nur die a). Ich würde sagen das Y durch Y=[3, 9, [mm] 14]^{T} [/mm] gegeben ist.
Wie ermittele ich jetzt die Matrix A?
Danke.
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Hallo monstre123,
> Wird ein Fahrzeug aus der Geschwindigkeit v auf Stillstand
> abgebremst, so setzt man für den Bremsweg y in
> Abhängigkeit von v folgende Gesetzmäßigkeit an:
> [mm]y=av^{2}+bv[/mm] .
> Zur Bestimmung von a und b werden 3 Messungen
> durchgeführt:
>
> [mm]v_{i}[\bruch{m}{s}]:[/mm] 9 17 25
> [mm]y_{i}[/mm] [m]: 3 9 14
>
> Da die Messungen ungenau sind, gibt es kein Tupel (a, [mm]b)\in\IR^{2},[/mm] sodass [mm]y=av_{i}^{2}+bv_{i}[/mm] für alle
> i = 1, 2, 3 gilt. Gesucht ist deswegen die ” im quadratischen Mittel beste” oder ”ausgleichende” Wahl von (a, b), d.h., es wird das Minimum der Funktion
>
> [mm]\IR^{2}\in(a,b)\mapsto\summe_{i=1}^{3}(y_{i}-av_{i}^{2}+bv_{i})^{2}[/mm] gesucht.
>
> a) Dieses Problem lässt sich allgemein als Minimalproblem formulieren:
> Gegeben sei eine n×m-Matrix A mit n > m und ein Vektor [mm]Y\in\IR^{n}.[/mm] Gesucht ist ein Minimum der Abbildung [mm]\IR^{m}\in X\mapsto \parallel Y-AX\parallel^{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Matrix A und den Vektor Y für das obige Problem.
>
> b) Zeigen: Sie [mm]X_{0}\in \IR^{m}[/mm] löst da Minimalproblem genau dann, wenn [mm]A^{T}AX_{0}=A^{T}Y.[/mm]
>
> c) Lösen Sie das Minimalproblem für obiges Beispiel.
> Hallo,
>
> also zuerst einmal nur die a). Ich würde sagen das Y durch Y=[3, 9, [mm]14]^{T}[/mm] gegeben ist.
>
> Wie ermittele ich jetzt die Matrix A?
Schreibe [mm]a*v_{i}^{2}+b*v_{i}[/mm] in Form eines Skalarproduktes.
Und das machst Du jetzt für alle Werte [mm]v_{i}[/mm]
Dann erhältst Du die gesuchte Matrix A.
>
> Danke.
>
>
Gruss
MathePower
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