Ausgleichsproblem - Normen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 28.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Bei folgender Aufgabe finde ich keinen Ansatz!
Es sei [mm]A \in \IR^{m x n}, b \in \IR^m[/mm] und A habe vollen Rang, also Rang(A) = n.
a)
Zu zeigen ist, dass unter Verwendung beliebiger Vektornormen ||*|| im [mm]\IR^n[/mm] bzw. |||*||| im [mm]\IR^m[/mm] eine Konstante c > 0 ex. so dass |||Ax||| >= c||x|| für alle x aus [mm]\IR^n[/mm].
Ich weiss lieder nicht, wie ich hier ansetzen soll.
Bekannt ist mir aber, dass im [mm]\IR^n[/mm] alle Normen untereinander äquivalent sind, das wird dann wohl auch für den [mm]\IR^m[/mm] gelten.
Aber wie kann ich denn nun eine Bez. herstellen?
b)
Zu zeigen ist, dass das Minimierungsproblem |||Ax-b||| --> Min für x aus [mm]\IR^n[/mm] bei Verwendung einer beliebigen Vektornorm |||*||| des [mm]\IR^m[/mm] eine Lösung besitzt.
Ehrlich gesagt: Ich habe weder eine Idee noch einen Ansatz, um dieses Problem zu lösen.
ICh hoffe, dass jemand mir einen Denkanstoss geben kann, so dass ich hier weierkomme!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 07.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
> Es sei A [mm]\in \IR^{m x n},[/mm] b [mm]\in \IR^m[/mm][/mm] und A habe vollen Rang, also Rang(A) = n.
a)
Zu zeigen ist, dass unter Verwendung beliebiger Vektornormen ||*|| im [mm]\IR^n[/mm] bzw. |||*||| im [mm]\IR^m[/mm] eine Konstante c > 0 ex. so dass |||Ax||| >= c||x|| für alle x aus [mm]\IR^n[/mm].
Durch
$x [mm] \mapsto [/mm] |||Ax|||$
wird wegen $Rang(A)=n$ eine Norm auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben. Jetzt musst du nur noch ausnutzen, dass alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind.
> Zu zeigen ist, dass das Minimierungsproblem |||Ax-b||| --> Min für x aus [mm]\IR^n[/mm] bei Verwendung einer beliebigen Vektornorm |||*||| des [mm]\IR^m[/mm] eine Lösung besitzt.
Die Spaltenvektoren spannen einen endlichdimensionalen Unterraum auf. Für einen endlichdimensionalen Unterraum existiert aber immer ein Bestapproximierendes. (Beweisidee: Wähle eine Minimalfolge und zeige, dass diese beschränkt ist, also einen Häufingspunkt besitzt. Nutze dann aus, dass endlichdimensionale Unterräume abgeschlossen sind.)
Liebe Grüße
Stefan
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