Ausgleichsgerade < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich benötige Eure Hilfe, da ich leider nicht mehr weiterkomme (bereits etliche Mathe-Seiten durchstöbert).
Und zwar muss ich ein Referat über Ausgleichsgeraden halten mit Hilfe des Differenzenquotienten.
Könntet Ihr mir bitte anhand von diesen fünf Punkten (3-2;5-6;1-7;10-8;12-15) die Ausgleichsgerade mit dem Differenzenquotient vorrechenen.
Bitte um genauen Lösungsweg!!, ich bin kein Mathe-Genie.(Ich weis nicht, wie das nur ansatzweise gehen soll).
Weiß vielleicht jemand wer die Ausgleichsgerade mit dem Differenzenquotient entdeckt hat (Gauß hatte nur die Berechnung der Ausgleichsgerade mit Hilfe der Martriz-Formel?? entdeckt oder hängt dies evtl. auch mit dem Differenzenquotient zusammen ?
Gibt es evtl. eine Website mit Beispielen (auch wieder mit dem differenzenqoutient)?
Bin Euch sehr dankbar für jede Hilfe/Antwort
Viele Grüße
Mathepro456
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Di 20.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
so funktioniert das hier leider nicht. Du solltest schonmal deine eigenen Gedanken zu dem Thema schreiben und nicht einfach nur eine möglichst ausführliche Lösung für eine nicht vorhandene Aufgabe erwarten... Ein Referat rechnet sich so schlecht aus. Also informier dich, rechne / arbeite dich durch dein Material (dazu findest du sogar auf wikipedia was brauchbares) und stelle konkrete Fragen.
lg
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Hallo MontBlanc,
ich habe bereits etliche Foren - Websiten (auch Wiki) bzgl. Ausgleichsgeraden durchgestöbert.
Doch meine Frage besteht weiterhin: Wie lautet die Formel mit der man mit Hilfe des Differenzenquotient (muss der Differenzenquotient sein, nicht Matrixen, etc.) die ausgleichsgerade berchenen kann???
Danach hoffe ich kann ich diese berechnen.
Viele Gruße
Mathepro456
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Di 20.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Fang an:
- zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem
- zeichne nach Augenmaß die Ausgleichsgerade ein
- entnimm der Zeichnung die Geradengleichung
- was ist das Besondere an der Ausglichsgeraden?
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Hallo crisno,
das habe ich beriets alles gemacht. Aber fürs Schätzen brauch ich dann doch keinen Differenzenquotient.
Ein Kollege hat mir bereits eine Formel aufgestellt ax+bx+c ...(ohne quadrieren) b der y-Schnittpunkt wird jedoch immer null.
Ich benötige die richtige Formel für die Berechung einer Ausgleichsgeraden NUR mit dem DIFFERENZENQUOTIENT und evtl. ein Beispiel wie das ganze mit der Formel zu berchnen ist. (Punkte können beliebig sein).
Grüße
Mathepro456
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Di 20.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du mal sagen, was du mit DIFFERENZENQUOTIENT meinst.ne bekannte Methode mit dem namen gibt es nicht. also bitt nochmal den genauen Writlaut der Aufgabe!
Deine Punkte liegen so wirr in der Gegend, dass ne Ausgleichsgerade was recht sinnloses ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Di 20.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sind deine Punkte richtig angegeben? (z. Bsp (1,7))
kannst du die genaue Aufgabenstellung posten, nicht deine Übersetzung?
So ist die Aufgabe nicht genau definiert.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
die Punkte (3/2;5/6;1/7;10/8;12/15) habe ich frei erfunden, denn ich benötige nur die Formel und eine ERklärung dazu wie und was dort eingesetzt werden muss. Aufgaben sowie die Berechnung muss ich letztendlich für verschieden Aufgaben können.
Grüße
Mathepro456
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate
Schau dort mal unter: "Der zweidimensionale Fall"
FRED
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Hallo Mathepro456,
mir ist grundsätzlich nicht klar, was die Angabe "mittels
Differenzenquotienten" bei dem Thema der Bestimmung
der Ausgleichsgeraden überhaupt soll. Normalerweise
braucht man nämlich zur Bestimmung der Ausgleichsgeraden
zu einer Punkteschar weder Differenzen- noch Differenzial-
quotienten, also auch gar nix aus der Differenzialrechnung !
LG
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Hallo nochmals,
ich muss eine GFS in Mathe und Physik halten über Ausgleichsgeraden.
Dabei meinte mein Mathe-Lehrer, dass man diese mit Hilfe des differenzenquotienten ausrechenen soll.
Nun bin ich auf die suche gegangen im Web + Mathe-Bücher... habe jedoch nichts zu diesem Thema gefunden (nur allgemein Ausgleichsgerade).
Was gäbe es denn für Alternativen die ausgleichsgeraden zu bestimmen, evtl. mit etwas ähnlichem ?????
(das sieht dem Differenzenquotienten ähnlich oder ??? www.learn-line.nrw.de/angebote/eda/medio/lunge/korrelation.htm )
Bitte um hilfe
Viele Grüße
Mathepro456
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Di 20.04.2010 | | Autor: | chrisno |
An alle Beteiligten,
ich nehme an, dass die Ausgleichsgerade nicht mit der fertigen Formel berechnet werden soll. Stattfessen soll die Summe der quadrierten Abweichungen für eine beliebeige Gerade formuliert werden. Wenn man dann diese Summe nach den Parametern der Gerade ableitet, erhält man die Ausgleichsgerade. Da vermute ich den "Differenzenquotienten", was eher Ableitung heißen soll.
An Mathepro456,
ich habe nicht vor, dass Dir hier vorzurechnen. Ich bin bereit, Dir zu helfen, das Ergebnis zu finden. Nur dann kanst DU auch Fragen beantworten. Das halte ich für zwingend nötig. Als Lehrer würde ich sonst davon ausgehen, dass Du einen Täuschungsversuch begagen hast, mit den entsprechenden Konsequenzen.
Ich kan ja nicht ahnen, das Du das alles schon gemacht hast, denn Du hast es nicht geschrieben. Ich schlage vor, dass Du ein paar andere Punkte auswählst, so dass sie besser hzu einer Geraden passen. Das ist aber nicht so wichtig.
Wie zeichnest Du in der Skizze die Abstaände ein? Nachdem Du das gemachst hast, kannst Du als nächstes die Abstände berechnen. Mach dies zuerst für einen Punkt. Gibt dazu den Punkt, die Geradengleichung und die Rechnung an, so dass wir das nachvollziehen können.
Damit Du weißt, wie es weitergeht:
Nachdem diese Rechnung erfolgreich durchgeführt ist, wird sie noch enmal wiederholt. Diesmal aber ganz allgemein für eine Gerade $g(x) = mx + n$.
Dann werden diese Abweichungen quadriert und addiert.
Diese Summe ist dann eine Funktion mit den Variablen m und n.
Das Minimum der Funktion ist gesucht.
Also wird jeweils nach m und n abgeleitet und die Ableitung = 0 gesetzt.
So erhälst Du zwei Gleichungen für m und n.
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Hallo nochmals,
bzgl. der Formel: Ich weis nicht ob das die richtige ist, was gibt es sonst noch für Formeln mit der man Ausgleichsgeraden mi Hilfe der Ableitung bildet
Könnte mir bitte jemand erklären was ich nun in die Formel einsetzten muss, bzw.
was n vor der Summe bedeutet (über dem Bruchstrich un unter dem Bruchstrich)
ist yi (die differenz zum vorhergehenden Punkt (4,6-2,7=1,9)???
ist xi (die differenz zum vorhergehenden Punkt (3-1,1=1,9)???
Was bedeutet das n über dem Summenzeichen und das i=1 unter dem Sumenzeichen ?
Warum wird die Summe (yi)*(xi) von der Summe yi*xi subtrahiert???
Wieso wird unter dem Bruchstrich die summe yi quadiert (wegen den kleinsten Quadraten ???
Und diese dan nochmal subrtahiert von Summe yi im Quadrat ???
Gibt es evtl. irgendwo eine Herleitung der Formel evtl. mit Erklärung wäre echt super.
Wie bereits gesagt Mathe ist meine große Schwäche
also ich habe jetzt folgende drei Punkte genommen (das es keine Aufgabe ist, können die indiviuell sein): 1,1 / 2,7 ; 3 / 4,6 und 5,5 / 6,8 .
Nun habe ich mal mit Hilfe des TI / GTR die Punkte zeichnen lassen
+ LinReg gemacht. Das Ergenis ist dann Y=a*x+b = Y=0,92*x+1,72 (Was bedeutet corr und was R² ???) Im Handbuch ist nichts dergleichen zu finden
Mit dem Ti ist dies kein Problem für mich, aber mein Lehere legt Wert auf schriftliches Rechnen (sprich kein TI).
Bitte um Hilfe
Viele Grüße
Mathepro456
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Geh mal auf die Seite:
![[]](/images/popup.gif) klick hier
da ist alles genau erklärt. arbeit das mal durch und dann stell Fragen, wenn du was nicht kapierst.
einfach fertige formeln helfen dir ja nicht bei ner GFS, also musst du schon ne Weile Arbeit investieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da wir alle hier, auch mit viel Erfahrung so ne Methode nicht kennen, solltest du deinen Lehrer wohl doch erst mal fragen, ob er die Methode der "kleinsten Quadrate" auch "lineare Regression" genannt meint, oder ob du dir was mit den Steigungen ausdenken sollst.
Gruss leduart
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Hallo,
Sorry, ich habe mich da ein Stück weit geirrt. Bei der Lösung
der Extremwertaufgabe "Summe der quadrierten Abweichungen
minimal" benützt man natürlich etwas Differentialrechnung,
also eine Ableitung einer quadratischen Funktion, die dann
gleich Null gesetzt wird, um die Minimalstelle zu lokalisieren.
LG Al-Chw.
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Hallo Mathepro456,
leider habe ich bisher nichts Nützliches gefunden zum Such-
begriff "Ausgleichsgerade Differenzenquotient". Wenn aber
in deiner Aufgabenstellung wirklich Differenzenquotienten
verlangt werden, ist es wohl auch wirklich so gemeint, und
dann dürfen wir den Begriff auch nicht einfach durch "Diffe-
renzialquotient" (also "Ableitung") ersetzen, wie vorgeschla-
gen wurde.
Nun hatte ich folgende Idee: Falls die Punktmenge nur aus
zwei Punkten [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] besteht, dann ist die Ausgleichsgerade
einfach die Gerade durch diese beiden Punkte. Ihre Steigung m
entspricht einfach dem Differenzenquotienten:
[mm] m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
[/mm]
Nun kann man möglicherweise das Verfahren induktiv erweitern.
Gegeben sei eine Menge aus n+1 Punkten [mm] P_1 [/mm] , [mm] P_2 [/mm] , ...... , [mm] P_n [/mm] , [mm] P_{n+1} [/mm] .
Ferner sei die Steigung [mm] m_n [/mm] der Ausgleichsgeraden der ersten
n Punkte schon bekannt. Nun nehmen wir den Punkt [mm] P_{n+1} [/mm] zu
den ersten n Punkten hinzu und fragen:
| Aufgabe | Wie können wir die Steigung [mm] m_{n+1} [/mm] der Ausgleichsgeraden
aller n+1 Punkte berechnen, wenn wir [mm] m_n [/mm] schon kennen
und nun der neue Punkt dazu genommen wird ? |
Um diese Frage beantworten zu können, genügen natürlich die
drei Zahlenangaben [mm] m_n [/mm] , [mm] x_{n+1} [/mm] , [mm] y_{n+1} [/mm] noch nicht. Hilfreich
ist wohl noch die Eigenschaft, dass eine Ausgleichsgerade stets
durch den Schwerpunkt eines Punktesystems verläuft.
LG Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | Punkte z.B. P (1/1) , Q (2/3) und R (4/3)
ursprüngliche Formel (FALSCH!!!!) geht immer durch den Ursprung ???
f(x) = Summe (yi - f(xi))=
(y1-f(x1)) + (y2-f(x2) + (y2-f(x2) =
= (1-x-b)+(3+2x-b)+(3+4x+b) =
= 7+ 7m - 3b
m=(7-3b)/7 b=(7-7m)/3
b=(7-7*((1-3b)/7))/3
b= 0 --- m =1 = g(x) = 1x
Neue Formel:
F(x) = a x + b
(y1-f(x1))² + (y2-f(x2)² + ... (yn-f(xn)²
= (1-1x-b)²+(3-2x-b)²+ (3-4x-b)² =
x²+(2*b-2)*x + b²-2b+1 + 4 x²+4bx-12x+b²-6*b+9 + 16*x²+8bx-24x+b²-6b+9 =
21 x² + (14b-38) x +3b²-14b + 19 (könnte mir bitte jemand erklären, wie man das von "Hand" rechnet ???
Wie muss man nun weiter vereinfachen, was null-setzten, leider scheitert es an dieser Stelle noch.
d (a,b ) =???(= m= Steigung)???
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Hallo zusammen,
entschuldigt bitte, dass ich mich bis jetzt keine Rückmeldung gegeben habe. Vielen Dank für Eure bisherigen Bemühungen.
Ich habe nun mit meinem Lehrer gesprochen und er hat mir nun bestätigt, dass ich folgende Formel benutzten soll, für die Ausgleichsgerade:
Mit Hilfe der Minimalitätsbedingungen (laut Mathebuch (Lambach Schweizer Kursstufe):
F(x) = a x + b
(y1-f(x1))² + (y2-f(x2)² + ... (yn-f(xn)²
= (y1-ax1-b)²+(y2+ax2-b)²+ ... (yn+axn-b)² =
d (a,b ) =???(= m= Steigung)???
Methode der kleinsten Fehlerquadrate, wie Ihr bereits mehrmals betonnt habt (verstehe nicht was das großartig mit dem differenzenquotienten zu tun hat).
Im Fenster Aufgabenstellung habe ich mal meinen Versuch geschildert.
Mein ursprüngliches Problem lag daran, dass ich die einzelnen Summen nicht quadriert habe und nach b=O gesetzt habe. Doofe Frage: Geht diese Funktion immer durch den Ursprung und wäre sie richtig, sobald sie durch den Ursprung gehen sollte?
Könntet Ihr mir bitte die Rechnung zu Ende, bzw. Erklären, wie ich die ² am besten aus den Klammern bekomme.
Vielen Dank
Viele Grüße
mathepro456
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte dir doch einen link geschrieben, in dem das alles erklärt wurde. hast du den durchgearbeitet? Kannst du dazu Fragen stellen?
Was hast du bisher an Forschung betrieben, ausser hier zu fragen?
Das soll doch nicht unsere sondern deine Leistung werden?
Du wurschstelst nur mit formeln rum. hast du verstanden , um was es geht?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ja, ich habe diese Seite bereits bevor ich hier überhaupt ein neues Thema angefangen habe, angschaut und jetzt nochmals.
Dennoch würde ich mich gerne an meinem Mathe-Buch orientieren (leider gibt es kein einziges Bsp (nur mit GTR/TI):
(y1-(fx1) ... siehe vorheriger Beitrag. Ich kann keine Parallelen zu disem Artikel von Herrn Brünner herstellen. Des Weiteren habe ich fier Punkte genommen und um seine Vorgehensweise nachvollziehen zu können - dies versucht. Komme jedoch zu keinem entgültigen Ergebnis, da dieser Artikel immer wieder neue Formeln in den Raum wirft (ohne Bsp-Rechnung mit "realen Zahlen").
Könntet Ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich die angefagene Rechnung der kleinsten Fehlerquadrate weiterführen muss (köönen wie bereits gesagt auch andere Punkte sein, nicht dass ich dies abschreiben werden!!!
(Gibt es evtl. dazu ein konkretes Bsp (mit Zahlen)???
Wäre sehr hilfreich für mich.
Grüße
mathepro456
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Als Algorithmus für die Ausgleichsgerade schlage deinem Lehrer folgendes vor:
Bilde den Mittelwert [mm] \overline{x} [/mm] aller x-Werte,
Bilde den Mittelwert [mm] \overline{y} [/mm] aller y-Werte,
Bilde aus beiden den Datenschwerpunkt [mm] S(\overline{x}|\overline{y})
[/mm]
Forderung: Die Ausgleichsgerade soll durch S gehen.
Damit fehlt dir nur noch die Steigung der Ausgleichsgeraden.
Hierzu bietet sich an:
Berechne sämtliche n Steigungen von S zu den anderen n Datenpunkten jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten (y-Differenz/x-Differenz). Berechne von diesen den Mittelwert und nimm ihn als Steigung für die Ausgleichsgerade.
ODER:
Berechne sämtliche n*(n-1)/2 Steigungen zwischen jeweils 2 verschiedenen Datenpunkten jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten (y-Differenz/x-Differenz). Berechne von diesen den Mittelwert und nimm ihn als Steigung für die Ausgleichsgerade. Das sind normalerweise viel mehr Berechnungen, vermutlich ist das Ergebnis nicht sinnvoller als das obige.
Bei 10 Messdaten berechnest du im 1. Fall 10 Steigungen, im 2. Fall 45.
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Hallo HJKweseleit,
vielen, vielen Dank für deinen Lösungsansatz:
Ich habe diese nun berechnet, könntet Ihr mir bitte diese Rechnung auf Rechen-Weg-Fehler überprüfen + RICHTIGE MATHEMATISCH SCHREIBWEISE (wie werden diese Punkte in kurz-Schreibweise dargestellt)?:
1=(1/0) , 2=(3/1); 3 = (5/3); 4 = (7/5)
a
x-Mittelwert = 1+3+5+7 = 16/4 =4
Y-Mittelwert = 0+1+3+5 = 9/4 = 2,25.
S= S (4/2,25)
RICHTIG
b
m1 = (y1-yMit)/(x1-xMit) = 0,75
m2 = (y2-yMit)/(x2-xMit) = 1,25
m3 = (y3-yMit)/(x3-xMit) = 0,75
m4 = (y4-yMit)/(x4-xMit) = 0,91667
m 1-4 = (0,75 + 1,25 + 0,75 + 0,91667)/4 = 0,91667 FALSCH (m=0,85)
y=mx+b
y=0,91667x+b einsetzten S (4/2,25)
2,25=0,91667*4+b
-b=0,91667*4-2,25 = -1,4166 FALSCH (b=-1,15)
c
m1-2 = (y1-y2)/(x1-x2) = 0,5
m1-3 = (y1-y3)/(x1-x3) = 0,75
m1-4 = (y1-y4)/(x1-x4) = 0,833
m2-3 = (y2-y3)/(x2-x3) = 1
m2-4 = (y2-Y4)/(x2-x4) = 1
m3-4 = (y3-y4)/(x3-x4) = 1
= 0,5+0,75+0,833+1+1+1 =10,166 = 10,166/6 = 0,847
(FALSCH =0,85 oder ist das Ergebnis 0,847 richtig ? und die andere Berechnung (TI) falsch/gerundet)?
y=mx+b
y=0,847x+b einsetzten S (4/2,25)
2,25=0,847*4+b
-b=0,847*4-2,25 = -1,138 FALSCH (b=-1,15) auch hier wieder Ergenis vom TI/GTR
Ich hoffe die Aufstellugn stimmt so (soadass man bei 10 = 45 Möglichkeiten hat).
"Berechne sämtliche n*(n-1)/2 Steigungen zwischen jeweils..." warum n*(n-1)/2 = (0,847*(0,847-1))/2
= -0,64725 ?????????
Nun habe ich mal eine Möglichkeit zur Berechnung für Lineare Regressionen.
Könntet Ihr mir bitte noch die andere Form (y1-(fx1)+.... (siehe Beitrag zuvor, oder ist es bereits diese Berechnung???
Grüße
mathepro456
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Hallo zusammen,
ich hoffe ich nerve nicht, mit meiner komischen Ausgleichsgerade. Doch habe bis jetzt keine Antwort erhalten (Muss man immer Mitteilung(zweites Kästchen) anklicken; sodass angeziegt wird: OFFENE FRAGE ?
Grüße
mathepro456
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich geht nicht jede Gerade durch 0
aber wir nehmen mal erst der einfachheit halber an, dass unsere Theorie sagt, dass die Gerade durch 0 geht. Wir haben etwa in phsik an einem unbekannten Widerstand R Spannung und Strom gemessen und wollen jetzt möglichst genau r bestimmen. Unsere Gleichung ist dann U=R*I
R unbekannt , damit es y und x bleibt, schreib ich für U=y, für I=x für R=m
ich hab die Stromstärken gemessen
I U I in ampere, U in Volt
0 0
0.1 0,55
0.2 1.0
0.3 1.6
0.4 2
0.5 2.6
jetzt such ich eine Gerade y=mx, so dass die Summe der Abstandsquadrate der Werte möglichst wenig von der Kurve abweicht:
also [mm] S(m)=(mx1-y1)^2+(mx2-y2)^2+.....+(mx5-y5)^2 [/mm] soll möglichst klein werden.
jetzt sind ja alle die x und y feste Werte, also m das einzige,was sich ändert. um das Min. zu finden muss ich also S(m) nach m ableiten, 0 setzen und nach m auflösen.
Kannst du das schon mal machen , dann hast du den ersten Schritt kapiert.
erst dann werden wir uns ner allgemeineren Geraden y=ax+b
zuwenden.
Am besten du nimmst nicht konkrete Werte, sondern allgemein x1,...x%, und überlegst, wie es aussieht, wenn man mehr als 5 hat.
Gruss leduart
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> Als Algorithmus für die Ausgleichsgerade schlage deinem
> Lehrer folgendes vor:
>
> Bilde den Mittelwert [mm]\overline{x}[/mm] aller x-Werte,
> Bilde den Mittelwert [mm]\overline{y}[/mm] aller y-Werte,
> Bilde aus beiden den Datenschwerpunkt
> [mm]S(\overline{x}|\overline{y})[/mm]
>
> Forderung: Die Ausgleichsgerade soll durch S gehen.
>
> Damit fehlt dir nur noch die Steigung der
> Ausgleichsgeraden.
>
> Hierzu bietet sich an:
>
> Berechne sämtliche n Steigungen von S zu den anderen n
> Datenpunkten jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten
> (y-Differenz/x-Differenz). Berechne von diesen den
> Mittelwert und nimm ihn als Steigung für die
> Ausgleichsgerade.
>
> ODER:
>
> Berechne sämtliche n*(n-1)/2 Steigungen zwischen jeweils 2
> verschiedenen Datenpunkten jeweils mit Hilfe des
> Differenzenquotienten (y-Differenz/x-Differenz). Berechne
> von diesen den Mittelwert und nimm ihn als Steigung für
> die Ausgleichsgerade. Das sind normalerweise viel mehr
> Berechnungen, vermutlich ist das Ergebnis nicht sinnvoller
> als das obige.
>
> Bei 10 Messdaten berechnest du im 1. Fall 10 Steigungen, im
> 2. Fall 45.
Hallo HJKweseleit,
dass die Ausgleichsgerade einer Punkteschar in der Ebene durch
den Schwerpunkt des Punktesystems geht, ist richtig.
Ich bezweifle aber sehr, ob die beiden vorgeschlagenen Methoden
der Berechnung der Steigung wirklich die korrekte Steigung
der Ausgleichsgeraden (im Sinne von Gauß) liefern ...
Doch war es ja vielleicht genau deine Absicht, den Lehrer von
Mathepro456 darauf hinzuweisen, dass es jedenfalls nicht so leicht
sein kann, aus den Differenzenquotienten von Punktepaaren der
Schar die Steigung der Ausgleichsgeraden zu berechnen ...
Lieben Gruß
Al
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Hallo nochmals,
ich habe nun eine allgemein-gültige Form entwickelt, könnte mir bitte jemand diese nun für mich kontrollieren, auf Richtigkeit aber auch die ? (am Ende) ersetezen sofern dies mathematisch überhaupt möglich ist.
Bitte heute noch um Antwort
Wäre sehr nett von Euch
Grüße
mathepro456
5.Regressionsgerade bestimmen, die zum exakten Ergebnis führt:
Summe der Abweichungen der [mm] y_i-Werte [/mm] von den den f-Werten [mm] (x_i) [/mm] soll 0 sein.
Es gilt für die Funktion: f(x) = ax + b
1) Berechnung für b :
(y 1 – f (x 1) + (y 2 – f (x 2 ) + (y 3 – f (x 3 ) + … + (y n –f (x n )
I auflösen (Funktion durch die Form ax + b ersetzten
= (y 1- ax 1 + b) + (y 2- ax 2 + b) + (y 3- ax 3 + b) + … + (y n- ax n + b)
= y 1- ax 1 + b + y 2- ax 2 + b + y 3- ax 3 + b + … + y n- ax n + b
I – b , Zusammenfassung der Werte
– b = (y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n )
(als Ergebnis für b erhält man nun Werte mit der Variable a; sodass weitere Berechnungen für die Bestimmung von a und b nötig sind)
2) Berechnung für a, mithilfe der „Methode der kleinsten Fehlerquadraten“
(y 1 – f (x 1)² + (y 2 – f (x 2 )² + (y 3 – f (x 3 )² + … + (y n –f (x n )² = min
I auflösen (Funktion durch die Form ax + b ersetzten
= (y 1- ax 1 + b)² + (y 2- ax 2 + b)² + (y 3- ax 3 + b)² + … + (y n- ax n + b)² =min
Keine der beiden Bedingungen ( 1) oder 2) reichen aus, um a und b zu bestimmen
3) Aufstellen der Gleichung zur Berechnung von a und b , mit Hilfe der Verknüpfung von beiden Bedingungen:
I In allen Klammern wird b ersetzt durch das Ergebnis von 1), hierbei muss man die Negation von b beachten.
= (y 1- ax 1 + b)² + (y 2- ax 2 + b)² + (y 3- ax 3 + b)² + … + (y n- ax n + b)² =min >
= (y 1- ax 1 + [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n ))]² + (y 2- ax2
+ [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n ))])² + (y 3- ax 3
+ [-(y1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n ))])² + … + (y n- ax n
+ [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n ))])² = min
I Die entstandene Gleichung wird zusammengefasst (nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen) und man erhält eine Gleichung der Form y = ax² + bx +c (Parabelgleichung):
? * a² + ? *a + ? = min
4) Berechnung von a und b , mit Hilfe der quadratischen Ergänzung oder der Differenzialrechnung:
In unserem Fall verwenden wir ausschließlich die Differenzialrechnung.
(? * a² + ? *a + ? = 0) * dx/dy
I (Ableitung der Minimalitätsbedingung (mit eingetragenen Werten)
= ? a + ?
I (die Gleichung wird jetzt nach a aufgelöst)
a = Wert (Hiermit haben wir die Steigung der Regressionsgerade berechnet)
I (Berechnung von b, indem b jetzt bekannt ist und eingesetzt werden kann)
– b = (y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 + x n )
I (Einsetzen der Werte a und b in die allgemein-gültige Funktion f(x) = a*x + b)
Die Ausgleichsgerade lautet : f(x) = a*x + b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 06.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo nochmals,
>
> ich habe nun eine allgemein-gültige Form entwickelt,
> könnte mir bitte jemand diese nun für mich kontrollieren,
> auf Richtigkeit aber auch die ? (am Ende) ersetezen sofern
> dies mathematisch überhaupt möglich ist.
>
> Bitte heute noch um Antwort
>
> Wäre sehr nett von Euch
>
> Grüße
>
> mathepro456
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> 5.Regressionsgerade bestimmen, die zum exakten Ergebnis
> führt:
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> Summe der Abweichungen der [mm]y_i-Werte[/mm] von den den f-Werten
> [mm](x_i)[/mm] soll 0 sein.
>
> Es gilt für die Funktion: f(x) = ax + b
> 1) Berechnung für b :
>
> (y 1 – f (x 1) + (y 2 – f (x 2 ) + (y 3 – f (x 3 )
> + … + (y n –f (x n )
> I auflösen (Funktion durch die Form ax + b ersetzten
> = (y 1- ax 1 + b) + (y 2- ax 2 + b) + (y 3- ax
> 3 + b) + … + (y n- ax n + b)
> = y 1- ax 1 + b + y 2- ax 2 + b + y 3- ax 3 + b + … + y
> n- ax n + b
bis hierher ist nur ein Fehler, du hast ne Klammer weggelassen:
y1-f(x1)=y1-(ax1+b)=y1-ax1-b
. aber jetzt steht da, wenn du die b zusammenfasst -n*b
> I – b , Zusammenfassung der Werte
Was du mit I-b meinst weiss ich nicht.
es scheint, du hast die Summe dr Differenzen einfach =0 gesetzt? Wieso das ? Das musst du doch irgendwie begründen??
auch hier brauchst du schon das Min. der Quadratformeln, wenn du nach b ableitest. das führt dann auf beihnahe die Gleichung.
> – b = (y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 +
> x 3 + x n )
wenn du das 0 setzt steht links
> (als Ergebnis für b erhält man nun Werte mit der Variable
> a; sodass weitere Berechnungen für die Bestimmung von a
> und b nötig sind)
>
>
> 2) Berechnung für a, mithilfe der „Methode der kleinsten
> Fehlerquadraten“
>
> (y 1 – f (x 1)² + (y 2 – f (x 2 )² + (y 3 – f (x 3
> )² + … + (y n –f (x n )² = min
> I auflösen (Funktion durch die Form ax + b ersetzten
> = (y 1- ax 1 + b)² + (y 2- ax 2 + b)² + (y 3- ax 3
> + b)² + … + (y n- ax n + b)² =min
>
> Keine der beiden Bedingungen ( 1) oder 2) reichen aus, um a
> und b zu bestimmen
>
> 3) Aufstellen der Gleichung zur Berechnung von a und b ,
> mit Hilfe der Verknüpfung von beiden Bedingungen:
> I In allen Klammern wird b ersetzt durch das Ergebnis von
> 1), hierbei muss man die Negation von b beachten.
> = (y 1- ax 1 + b)² + (y 2- ax 2 + b)² + (y 3- ax 3
> + b)² + … + (y n- ax n + b)² =min >
>
> = (y 1- ax 1 + [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1
> + x 2 + x 3 + x n ))]² + (y 2- ax2
> + [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 +
> x n ))])² + (y 3- ax 3
> + [-(y1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 + x 3 +
> x n ))])² + … + (y n- ax n
> + [-(y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x
> 1 + x 2 + x 3 + x n ))])² = min
> I Die entstandene Gleichung wird zusammengefasst (nach
> dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen) und man erhält
> eine Gleichung der Form y = ax² + bx +c
> (Parabelgleichung):
> ? * a² + ? *a + ? = min
lass erst mal noch b stehen,
Das min entsteht, indem du die Quadratsummen, die du hast nach a ( im Punkt vorher nach b) ableitest:
Beispiel für den ersten Summanden : [mm] \bruch{(y1-ax1-b)^2}{da}=2* [/mm] (y1-ax1-b)*x1
Wenn du b richtig ausrechnest, ersetze (x1+x2+...+xn)/n durch [mm] \overline{x} [/mm] den mittelwert von x, entsprechend die Summe er y durch [mm] \overline{y} [/mm] dann vereinfachen sich die Formeln
entsprechend [mm] (x1^2+x^2^2+....)/n=\overline{x^2} [/mm]
> 4) Berechnung von a und b , mit Hilfe der quadratischen
> Ergänzung oder der Differenzialrechnung:
> In unserem Fall verwenden wir ausschließlich die
> Differenzialrechnung.
>
> (? * a² + ? *a + ? = 0) * dx/dy
> I (Ableitung der Minimalitätsbedingung (mit eingetragenen
> Werten)
Genau das ist deine einzige Leistung, die machen wir dir hier nicht vor. also ableiten, Ableitung =0 alles was bei [mm] a^2 [/mm] steht zusammenfassen ebenso alles bei a und alles ohne a, dann hast du deine 3 Fragezeichen.
Gruss leduart
> = ? a + ?
> I (die Gleichung wird jetzt nach a aufgelöst)
> a = Wert (Hiermit haben wir die Steigung der
> Regressionsgerade berechnet)
>
> I (Berechnung von b, indem b jetzt bekannt ist und
> eingesetzt werden kann)
> – b = (y 1 + y 2 + y 3 +…+ y n ) – a ( x 1 + x 2 +
> x 3 + x n )
falsch
Wenn du das nicht selbst machst, kannst dus nem lehrer oder Mitschüler ja auch nicht erklären.
ich hab dir schon die geschickten abkürzungen für die langen Klammern gesagt.
(wieso hast du nicht wie vorgeschlagen erst mal das einfachere problem gelöst. es ist frustig, wenn man sich mühe gibt, und keinerlei Echo auf nen post folgt, das ja auch sein kann " ich hab das und das nicht verstanden)
griuss leduart
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