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Hallo zusammen,
ich würde gerne aus einer Reihe von Punkten [mm] P_n(x,y,z) [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] eine Ausgleichsebene berechnen.
Anschließend möchte ich den orthogonalen Abstand der einzelnen Punkte zu dieser Ausgleichsebene bestimmen.
Leider bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen soll. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man vorgeht?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 15.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Das habe ich noch nie gemacht. Meine Idee ist, eine Formel entsprechend der für die Ausgleichsgerade herzuleiten:
1. Die Ebene allgemein in der Hesseschen Normalform hinschreiben.
2. Den Abstand eines Punktes von der Ebene kann man nun auch allgemein hinschreiben.
3. Die Summe aller quadrierten Abstände bilden.
4. Diese Summe partiell nach x, y, z und d ableiten.
5. Diese partiellen Ableitungen Null setzen. Das sind die allgemeinen Bedingungen für die Ausgleichsebene.
Die orthogonalen Abstände gibt es dann gratis.
Nachtrag: ich habe mich verklickt, dadurch ist diese Antwort zu einer Frage geworden.
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Das lineare Ausgleichsproblem ist von der Form [mm] $\min\Vert Ax-b\Vert$ [/mm] und hat als Ansatz [mm] $Ax=b+\varepsilon$. [/mm] Stelle die letzte Formel nach [mm] $\varepsilon$ [/mm] um und du bist fertig.
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