Ausdehnung von Schienen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 00:36 Fr 05.10.2007 | | Autor: | koepper |
| Aufgabe | Ein geradliniges Eisenbahnschienenstück von 5 km Länge dehnt sich unter Hitzeeinwirkung um insgesamt 2 Meter aus. Nun sind die beiden Endpunkte des Schienenstückes aber so befestigt, daß sie sich nicht bewegen können. Das Schienenstück wird sich also unter der Ausdehnung vom Boden heben.
1. Wir nehmen zunächst an, daß das Schienenstück eine Kreisbogenform annimmt. Wie hoch wird der höchste Punkt liegen?
2. Nun nehmen wir an, das Schienenstück bilde die Form einer Parabel. Welche Höhe erreicht es dann?
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Bitte gebt bis 12.10. nur eure Schätzungen ab! (Keine Rechnungen)
Ab 13.10. kann dann - wer es schafft - exakte Ergebnisse präsentieren.
Ich poste die (ich denke, ziemlich überraschenden) Ergebnisse am 20.10.
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Hallo,
hierzu passen zwei Threads aus nicht allzu ferner Vergangenheit:
Hier ist allerdings die Ausdehnung unter Hitze um 3 Zehnerpotenzen größer...
Und da ist "man" (u.a.: ich) bei der exakten Berechnung des höchstens Punktes bei 1) erbärmlich gescheitert. (Es gab gar Mißstimmungen... )
Also: ich bin gespannt, wie das geht - vor allem, ob es einfach geht!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ich für meinen Teil habe mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber ich habe meine (meiner Meinung nach richtigen) Ergebnisse :P
Aber an eine einfache Lösung wäre ich auch interessiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo koepper!
Meine erstes Bauchgefühl sagte mir einen Wert von deutlich unter $1 \ [mm] \text{m}$ [/mm] . Daher werde ich [mm] $\red{50 \ \text{cm}}$ [/mm] als Schätzung in den Raum werfen.
Allerdings hat eine überschlägliche Rechnung mit stark vereinfachtem Modell eines gleichschenkligen Dreieckes eine wirklich erstaunliche Zahl ergeben. ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Gruß
Loddar
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> Allerdings hat eine überschlägliche Rechnung mit stark
> vereinfachtem Modell eines gleichschenkligen Dreieckes eine
> wirklich erstaunliche Zahl ergeben.
Ja. Ich dachte zuerst, es sei das Ergebnis in cm, was ich da ausgerechnet habe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 05.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi Loddar!
> Allerdings hat eine überschlägliche Rechnung mit stark
> vereinfachtem Modell eines gleichschenkligen Dreieckes eine
> wirklich erstaunliche Zahl ergeben.
Das habe ich auch mal gemacht, Kopfrechnen und Pythagoras ist doch zugelassen, da stehen sowohl die Schienen als auch mir die Haare zu Berge. Ich bestätige meine untige Experimental-Schätzung.
Have a fine weekend
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Fr 05.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo koepper!
Hallo auch
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>
> Meine erstes Bauchgefühl sagte mir einen Wert von deutlich
> unter [mm]1 \ \text{m}[/mm] . Daher werde ich [mm]\red{50 \ \text{cm}}[/mm]
> als Schätzung in den Raum werfen.
Das dachte ich auch.
>
> Allerdings hat eine überschlägliche Rechnung mit stark
> vereinfachtem Modell eines gleichschenkligen Dreieckes eine
> wirklich erstaunliche Zahl ergeben.
Mir ging es ähnlich. Ich kann aber keinen Fehler finden.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hi ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
also ich schätze mal, dass sich die Schiene nicht an einer Stelle heben wird, sondern an vielen und es im Endeffekt so aussieht, als wäre es eine Welle mit einer durchschnittlichen Höhe von weniger als 8cm.
lg
Herby
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> also ich schätze mal, dass sich die Schiene nicht an einer
> Stelle heben wird, sondern an vielen und es im Endeffekt so
> aussieht, als wäre es eine Welle mit einer
> durchschnittlichen Höhe von weniger als 8cm.
Och Herby...
Thema verfehlt, 6, setzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Herby |
zu 1. ca 34m
zu 2. ca. 44m
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herby!
Sind das nun Deine Schätzwerte oder bereits gerechnete Werte?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Fr 05.10.2007 | | Autor: | statler |
Unter uns: Das ist für mich gar keine Frage, das 'ca.' steht da nur, um die Spuren zu verwischen. Ich kann es nicht beweisen, aber ich vermute hier das, was man im Sport Doping nennen würde! Angelas Anpfiff ist ihm wohl in die Knochen gefahren.
Ich veröffentliche meine berechneten Werte frühestens am 14.10., wenn es dann noch Sinn hat.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 So 07.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo,
nachdem ich jetzt selbst gerechnet habe, ändere ich meine Meinung in diesem Punkt. Als berechnete Ergebnisse sind Herbys Werte doch zu ungenau.
Schönen Sonntag
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mo 08.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Herby,
natürlich wollte ich hier keine Verwirrung stiften. Als ich deine ca.-Werte gelesen habe, war ich erstmal fest überzeugt, daß sie auf Berechnung beruhen, zumal sie so kommentarlos dastanden. Auch bei einer Schätzung würde ich hier in diesem Kreis eine Begründung oder Plausibilitätserklärung erwarten. So lottomäßiges Raten solte doch nicht unsere Welt sein. Obwohl bei Loddar die Zahl auch aus dem Bauch kommt.
Als ich dann aber selbst gerechnet hatte und zu meinen Resultaten Zutrauen gefaßt hatte, fand ich, daß deine Zahlen doch nicht gerechnet sein können, weil sie schlechter sind als eine einfacher Überschlag mit dem Pythagoras, den ja anscheinend mehrere gemacht haben. Deswegen habe ich meine Meinung geändert. Sie kommen anscheinend doch auch aus dem Bauch.
Konnte ich meinen Sinneswandel verständlich darlegen? Mit mir selbst bin ich immerhin einig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Auch bei einer Schätzung würde ich
> hier in diesem Kreis eine Begründung oder
> Plausibilitätserklärung erwarten.
Hallo,
aus meiner Lebenserfahrung heraus kann ich dem zustimmen, was Du sagst - auch wenn Du es sicher völlig anders gemeint hast:
wer aus "diesem Kreis" würde schon völlig aus dem Bauch heraus und ohne Seil und Sicherung eine Schätzung abgeben?
Du selbst hast ja zum Zwecke der Sicherung sogar eine Seilschaft mit den Experimentalphysikern gebildet...
Ich finde aber gerade eine unvorsichtige Schätzung aus dem Bauch heraus recht interessant - und eine anschließende Rechnung.
Ich werde dieses verblüffende Ergebnis mit dem Gürtel und dem Äquator, welches ich zu Schulzeiten hatte, diese Diskrepanz zwischen Gefühl und Berechnung, nie vergessen. (Es tröstet mich noch heute: wenn ich mich zu dick finde, denke ich daran, daß mein Gürtel bei Verlängerung um 1m genausoweit von mir absteht wie der meiner Freundin...)
Das war jetzt ziemlich off topic, nech?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 12.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> > Auch bei einer Schätzung würde ich
> > hier in diesem Kreis eine Begründung oder
> > Plausibilitätserklärung erwarten.
>
Schätzung ist Schätzung - die kann man meist nicht begründen.
>> Das war jetzt ziemlich off topic, nech?
So off topic finde ich das nicht. Es ist doch in gewisser Weise das gleiche Prinzip.
Wenn man also irgend wann mal so eine ähnliche Pytagoras-Aufgabe hatte, bei der die eine Kathete fast so lang war wie die Hypothenuse, dann wird man sich an die Auswirkung auf die andere Kathete eventuell erinnern, und dieses bei zukünftigen "Schätzungen" berücksichtigen.
Eine Fehl-Schätzung beruht ja meist auf fehlendem Wissen. Sobald dann aber neues Wissen hinzugekommen ist, fließt das auch in zukünftige "Schätzungen" mit ein.
=> siehe Gürtel um die Erde - Gürtel um die Taille
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Herby |
huhu
so, dann kann ich ja auch wieder zitieren und kommentieren 
> Hallo Herby,
>
> natürlich wollte ich hier keine Verwirrung stiften.
war ja auch eher ich, gelle ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Als ich
> deine ca.-Werte gelesen habe, war ich erstmal fest
> überzeugt, daß sie auf Berechnung beruhen, zumal sie so
> kommentarlos dastanden. Auch bei einer Schätzung würde ich
> hier in diesem Kreis eine Begründung oder
> Plausibilitätserklärung erwarten. So lottomäßiges Raten
> sollte doch nicht unsere Welt sein.
es hieß: "schätzen" und die ca. 33m waren rein geschätzt - ohne Pythagoras und ähnlichem!
Die ca. 67,5 waren dann gerechnet, allerdings ohne diesen neumodischen Krams wie Muhpäd und Mathematixa - sondern mit einem Taschenrechner für 12,95
> Obwohl bei Loddar die
> Zahl auch aus dem Bauch kommt.
ja ja - da hat er ganz schön lange nach suchen müssen ![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]")
> Als ich dann aber selbst gerechnet hatte und zu meinen
> Resultaten Zutrauen gefaßt hatte, fand ich, daß deine
> Zahlen doch nicht gerechnet sein können, weil sie
> schlechter sind als eine einfacher Überschlag mit dem
> Pythagoras, den ja anscheinend mehrere gemacht haben.
> Deswegen habe ich meine Meinung geändert. Sie kommen
> anscheinend doch auch aus dem Bauch.
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
> Konnte ich meinen Sinneswandel verständlich darlegen? Mit
> mir selbst bin ich immerhin einig.
Rechnen kann ja jeder
Schönes WE
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 05.10.2007 | | Autor: | statler |
Hey ihr alle!
Also ich verkleide mich jetzt mal als Experimentalphysiker, was so gar nicht meinem Naturell entspricht, und mache einen Versuch im Maßstab 1:5000. Dazu drücke ich einen griffbereiten 1 m langen Zollstock (ich weiß ich weiß es heißt Gliedermaßstab) um 0,4 mm zusammen. Das Ding hebt sich in der Mitte um vielleicht 1 cm - 0,4 mm sind verteufelt schwer zu treffen. Das würde aber heißen, die Gleise heben sich im richtigen Leben um 50 m. Das ist schwer vorstellbar, aber ich erinnere mich an Bilder von Hitzeschäden an Gleisen, die dramatisch waren.
Ich bin jetzt neugierig und werde heute abend mal rechnen. Aber es gibt ja auch diese Frage, was passieren würde, wenn man den Äquator um einen Meter verlängert.
Liebe Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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Hmmm, ich habs nu doch mal ausgerechnet, und das Ergebnis ist - äh - interessant...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich tippe auf wenige Millimeter (wenn überhaupt) in beiden Fällen. Auf alle Fälle sollten beide Erhebungen ca. gleich groß sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Interessant, interssant, die 2m auf 5000m sind ja realistisch, habe gerade mal die Temperaturdifferenz von [mm] -20^{0}C [/mm] bis [mm] 35^{0}C [/mm] angenommen, der Schienenstrang, Stahl angenommen, verlängert sich um 3,5m, meine Schätzung - total falsch, meine vereinfachte Rechnung mit zwei Dreiecken, will mich noch an die anderen Formen machen, aber die Größenordnung stimmt auch mit Dreiecken, na gut. Bei der Aufgabe, verlängertes Band um Äquator, kommt ja auch ein erstaunliches Ergebnis raus, was passt drunter durch.
Steffi
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Ja, ich habs auch grade ausgerechnet - das sind gute 30° Temperaturunterschied.
Im Winter kann so ne Schiene manchmal -20°C werden, im Sommer auch mal 40-60°C. Juchu! Früher gabs alle 20m, wenn ne neue Schiene anfing, nen kleinen Spalt, heute sind die Schienen alle fest miteinander verschweißt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 07.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
ich finde eure Überlegungen recht interessant. Nachdem wohl inzwischen alle gesehen haben, daß die durch Ausdehnung verursachte Erhöhung ziemlich erheblich ist, würden mich die Gegenmaßnahmen in der Praxis einmal interessieren.
Vielleicht könnte uns dazu ja Loddar als Bauingenieur etwas nähere Auskunft geben.
Selbst wenn man die Schienen im Abstand von 1 m fest am Boden befestigen würde, wäre die Höhe der Welle immer noch über 1 cm. Selbst bei mittlerer Geschwindigkeit wird das ziemlich unkomfortabel für die Fahrgäste. Bei hoher Geschwindigkeit sehe ich einen erheblichen Verlust an "Bodenhaftung" bis hin zu Entgleisungsgefahr.
*guckt grad etwas beunruhigt*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich nehm mal an die Scine wrd so festgehalten-dichte feste Schwellen-, dass sie nur dicker wird.
Gruss leuart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 07.10.2007 | | Autor: | mmhkt |
Guten Abend,
zum Thema Berücksichtigung von Temperatur beim Gleisbau gibt es bei ![[]](/images/popup.gif) wikipedia im Abschnitt Gleisbau und -konstruktion die Antwort zu dieser Frage zu lesen.
Schönen Gruß
mmhkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Mo 08.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> ... , würden mich
> die Gegenmaßnahmen in der Praxis einmal interessieren...
> ... ziemlich unkomfortabel für die Fahrgäste. Bei hoher
> Geschwindigkeit sehe ich einen erheblichen Verlust an
> "Bodenhaftung" bis hin zu Entgleisungsgefahr.
>
> *guckt grad etwas beunruhigt*
In der Praxis ist eben alles anders als in der Theorie. Dabei wird die Theorie immer der Praxis angepasst und nicht umgekehrt.
Oder im Klartext:
Nachdem du ausgerechnet hast, dass ein Zug theoretisch bei Temperaturschwankungen entgleisen müsste, fragst du, warum das nicht geschieht. Du verwirfst also deine Theorie zugunsten der Praxis.
Alternativ könntest du zukünftig auch Züge meiden, da du ja nun aufgrund deiner Berechnungen weißt, dass sie theoretisch entgleisen müssten.
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Ich habe jetzt nicht gerechnet (da gibt es bestimmt irgend 'ne Formel für) und bin auch 'ne Niete im schätzen , aber ich habe folgendes Experiment gemacht:
Das Eisenbahnschienenstück von 5 km Länge = das ist ein etwa 1.20 m langer Bindfaden, den ich stramm an die Tischkante gespannt habe.
... dehnt sich unter Hitzeeinwirkung um insgesamt 2 Meter aus = nun gebe ich etwa ein Zentimeter dazu (zu dem 1.20 m Bindfaden).
Und was passiert: Oh la la - der Faden schlabbert nun ganz schön.
Egal, ob Kreis oder Parabel - die Schiene wird sich ganz schön durchbiegen, wenn sie 2 Meter länger geworden ist.
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Habe mich nur der Sache mit dem Seil um die Erde erinnert, das um ein Meter länger ist, als der Äquator. Ob da noch eine Katze darunter durch passt?
Aber zur Aufgabe
1) Ich tippe auf etwa 3mm
2) genauso wie 1)
Uwe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 12.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> ... Ob da noch eine Katze darunter durch passt?
> Ich tippe auf etwa 3mm
3 mm ?? - das wäre dann aber ein Katzen-Embryo nach drei Wochen *lol*
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Ok, nu ist der 13, so schaut, was ich verbrochen habe:
Für die Gleichtung, die den Schienenverlauf beschreibt, kann man [mm] $f\left(x\right) =ax^{2}+h$ [/mm] ansetzen, wobei $h$ die gesuchte Höhe ist.
Die Nullstellen dieser Gleichung entsprechen den Endpunkten der Schiene, für sie gilt
[mm] $x_{0}=\pm \sqrt{\frac{h}{a}}=\pm [/mm] 2500m$
Für die Länge einer Funktionskurve gilt allgemein:
[mm] $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f^{\prime 2}\left( x\right) }dx$
[/mm]
In unserem Fall ist [mm] $f^{\prime }\left( x\right) [/mm] =2ax$, und die Grenzen sind die Nullstellen. Etwas einfacher wird das ganze, wenn man nur eine Hälfte der Parabel betrachtet (Man möge mir den Einsatz von Maple gestatten):
[mm] $2501=\int_{0}^{2500}\sqrt{1+2ax}dx$
[/mm]
[mm] $=\left[ \frac{1}{4}\frac{\ln \left( \sqrt{4a^{2}x^{2}+1}+2x\sqrt{a^{2}}\right)}{\sqrt{a^{2}}}+\frac{x\sqrt{4a^{2}x^{2}+1}}{2}\right]_{0}^{2500}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\frac{\ln \left( \sqrt{4\cdot 5000^{2}a^{2}+1}+10000\sqrt{a^{2}}\right) }{\sqrt{a^{2}}}+2500\sqrt{4\cdot 5000^{2}a^{2}+1}$
[/mm]
Dies ist meines Erachtens nach analytisch nicht zu lösen, daher hab ich das numerisch gemacht:
[mm] $a=9.799696272\cdot 10^{-6}$
[/mm]
Einsetzen in die Gleichung für die Nullstelle ergibt:
[mm] $\sqrt{\frac{h}{a}}=2500\Rightarrow \fbox{h=61,248m}$
[/mm]
Die Schätzungen mit den 50m sind also gar nicht mal so schlecht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Genauso habe ich es auch gemacht und ich bin zum gleichen Ergebnis gekommen. Beim Kreis ist es ca. das selbe Ergebnis.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:48 Sa 13.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Event_Horizon,
> Für die Gleichtung, die den Schienenverlauf beschreibt,
> kann man [mm]f\left(x\right) =ax^{2}+h[/mm] ansetzen, wobei [mm]h[/mm] die
> gesuchte Höhe ist.
Ich habe -a statt a gewählt, damit a positiv wird, und genau das läuft jetzt schief bei dir...
> Die Nullstellen dieser Gleichung entsprechen den Endpunkten
> der Schiene, für sie gilt
>
> [mm]x_{0}=\pm \sqrt{\frac{h}{a}}=\pm 2500m[/mm]
Ein Minuszeichen fehlt hier unter der Wurzel.
> Für die Länge einer Funktionskurve gilt allgemein:
>
> [mm]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f^{\prime 2}\left( x\right) }dx[/mm]
>
> In unserem Fall ist [mm]f^{\prime }\left( x\right) =2ax[/mm], und
> die Grenzen sind die Nullstellen. Etwas einfacher wird das
> ganze, wenn man nur eine Hälfte der Parabel betrachtet (Man
> möge mir den Einsatz von Maple gestatten):
auf jeden Fall! Ich habe MuPAD benutzt
>
> [mm]2501=\int_{0}^{2500}\sqrt{1+2ax}dx[/mm]
da fehlt ein Quadrat: [mm]2501=\int_{0}^{2500}\sqrt{1+4a^2x^2}dx[/mm]
> [mm]=\left[ \frac{1}{4}\frac{\ln \left( \sqrt{4a^{2}x^{2}+1}+2x\sqrt{a^{2}}\right)}{\sqrt{a^{2}}}+\frac{x\sqrt{4a^{2}x^{2}+1}}{2}\right]_{0}^{2500}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4}\frac{\ln \left( \sqrt{4\cdot 5000^{2}a^{2}+1}+10000\sqrt{a^{2}}\right) }{\sqrt{a^{2}}}+2500\sqrt{4\cdot 5000^{2}a^{2}+1}[/mm]
>
> Dies ist meines Erachtens nach analytisch nicht zu lösen,
> daher hab ich das numerisch gemacht:
>
> [mm]a=9.799696272\cdot 10^{-6}[/mm]
>
> Einsetzen in die Gleichung für die Nullstelle ergibt:
>
> [mm]\sqrt{\frac{h}{a}}=2500\Rightarrow \fbox{h=61,248m}[/mm]
>
> Die Schätzungen mit den 50m sind also gar nicht mal so
> schlecht...
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:15 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Event_Horizon |
Nja, ok, ich habe etwas schlampig gearbeitet, aber generell ist es erstmal egal, ob a jetzt positiv oder negativ wird.
Schwammig wirds bei dem numerischen Teil, da das a stehst als a² in der Gleichung steht, müßte da ein [mm] \pm [/mm] vor das Ergebnis.
Der Formel ists letztendlich egal, ob die Brücke durchhängt - dann wäre h auch negativ - oder ob sie sich hochstellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich hab auch das gleiche raus; auch über die Bogenlänge und numerisch gelöst (mit Mathematica bzw. Regula Falsi).
Kreisbogen: h = 61,25 m
Parabel: h = 61,24 m
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:04 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Übrigens, hier mal der Graf der Parabel dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Kreis sieht oberhalb der x-Achse ja ca., genau so aus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich poste die (ich denke, ziemlich überraschenden) Ergebnisse am 20.10.
Das "ziemlich Überraschende" - das ist wohl die "Mathematische Täuschung" (als Pendant zur "Optischen Täuschung").
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
[mm] (x+1)^{2}^-x^{2}=y^{2}
[/mm]
und daraus folgt:
[mm] \wurzel{2x+1}=y
[/mm]
Mit anderen Worten: Je größer x wird, desto größer wird auch y.
Man glaubt aber "gefühlsmäßg", dass y mit steigendem x eher kleiner werden würde.
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> > Ich poste die (ich denke, ziemlich überraschenden)
> Ergebnisse am 20.10.
>
> Das "ziemlich Überraschende" - das ist wohl die
> "Mathematische Täuschung" (als Pendant zur "Optischen
> Täuschung").
>
>
> Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
> [mm](x+1)^{2}^-x^{2}=y^{2}[/mm]
>
> und daraus folgt:
> [mm]\wurzel{2x+1}=y[/mm]
>
> Mit anderen Worten: Je größer x wird, desto größer wird
> auch y.
>
> Man glaubt aber "gefühlsmäßg", dass y mit steigendem x eher
> kleiner werden würde.
Hallo,
daß "man" das glaubt, glaube ich eher nicht, denn das widerspräche doch wirklich jeder Lebenserfahrung:
daß der Gürtel enger anliegt, wenn man ihn verlängert, denkt doch wohl keiner...,
Andere Sache:
Ich nehme mal an, daß Du mit dem Pythagoras eine grobe Abschätzung machen willst dafür, wie hoch (y) sich die Schienen heben.
Du rechnest hier
> [mm](x+1)^{2}^-x^{2}=y^{2}[/mm]
mit dem falschen rechtwinkligen Dreieck.
Man betrachtet doch ein Dreieck, dessen "untere" Seite x lang ist, und man will die Höhe y des gleichschenkligen Dreiecks über x wissen, wenn die Länge der beiden gleichlangen Schenkel insgesamt x+1 beträgt.
Hierzu betrachtet man ja das "kleine" rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse [mm] \bruch{x+1}{2} [/mm] und den Katheten [mm] \bruch{x}{2} [/mm] und y.
Das rechtwinklige Dreieck, welches Du betrachtest, Hypothenuse x+1, Katheten x und y, hat mit der Aufgabe nicht so viel zu tun,
Denn bei Dir liegt der Endpunkt der verlängerten Schiene nicht mehr an seinem Platz.
Gruß v. Angela
P.S.: Daß es inzwischen rechnerische Lösungen gibt, hast Du gesehen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 14.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Angela,
irgendwie musst du mich missverstanden haben. Es ging bei meiner Pythagoras-Formel doch um folgendes:
Du hast eine Stange, die auf dem Fußboden liegt. Nun verlängerst du diese Stange um 1 cm. Deswegen passt die Stange nicht mehr auf den Boden, sondern muss an eine Wand angelehnt werden. In welcher Höhe lehnt die Stange an der Wand?
Nun stell dir vor, die Stange
a) sei so lang wie die Breite eines Fußballtores (etwa sieben Meter)
b) geht von Bremen nach Hamburg (etwa hundert Kilometer)
Wie hoch ragt dann die Stange (wegen dem zusätzlichen Zentimeter) in die Höhe?
Die meisten würden da wohl denken, dass der popelige Zentimeter bei der Strecke Bremen-Hamburg weniger ins Gewicht fällt als beim Fußballtor. Aber Pustekuchen.
P.S.
Du schriebst, das hätte mit der Ursprungs-Aufgabe nichts zu tun. Aber um genau dieses PRINZIP ging es ja. Ob das nun gebogene Schienen sind oder an die Wand gelehnte Stangen, das ist doch egal.
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> irgendwie musst du mich missverstanden haben.
Hallo,
ja, das habe ich wohl.
> P.S.
> Du schriebst, das hätte mit der Ursprungs-Aufgabe nichts zu
> tun. Aber um genau dieses PRINZIP ging es ja. Ob das nun
> gebogene Schienen sind oder an die Wand gelehnte Stangen,
> das ist doch egal.
Ich dachte, Du wolltest mit Deiner Stange die Ursprungsaufgabe abschätzen, und das wäre nicht so geschickt gewesen.
> Nun stell dir vor, die Stange
> a) sei so lang wie die Breite eines Fußballtores (etwa
> sieben Meter)
> b) geht von Bremen nach Hamburg (etwa hundert Kilometer)
>
> Wie hoch ragt dann die Stange (wegen dem zusätzlichen
> Zentimeter) in die Höhe?
>
> Die meisten würden da wohl denken, dass der popelige
> Zentimeter bei der Strecke Bremen-Hamburg weniger ins
> Gewicht fällt als beim Fußballtor. Aber Pustekuchen.
Ja, ich verstehe jetzt, was Du meinst:
Man würde denken, daß sich der zusätzliche cm auf 100 km kaum auswirken wird, und man ist zunächst völlig überrascht, daß man bei Deiner Eisenbahnstrecke ein y von 45m erhält, man hätte eben "sehr wenig" erwartet.
In gewisser Hinsicht hat unser Bauchgefühl aber doch völlig recht: setzt man nämlich y und x ins Verhältnis, so ist das bei der Eisenbahnstrecke verschwindend gering, [mm] \approx [/mm] 0.05%, während bei der 7m-Stange 5% erhält.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 14.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> In gewisser Hinsicht hat unser Bauchgefühl aber doch völlig
> recht: setzt man nämlich y und x ins Verhältnis, so ist das
> bei der Eisenbahnstrecke verschwindend gering, [mm]\approx[/mm]
> 0.05%, während bei der 7m-Stange 5% erhält.
Genau das ist ja die Krux an der Geschichte:
Einerseits das prozentuale Verhältnis und andererseits die absoluten Werte.
(Wenn du prozentuale Verhältnisse zugrunde legst, dann trifft dasselbe auch auf die Sache mit dem ein Meter längeren Gürtel um die Erde zu: Ein Meter ist "so gut wie nichts" gegenüber dem Umfang der Erde. Aber auch die zusätzliche Lücke, unter der eine Katze durchkriechen kann, ist - im Vergleich zum Erddurchmesser - "so gut wie nichts".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Do 18.10.2007 | | Autor: | Jockal |
Hallo an alle!
Eine sehr schöne nicht ganz einfache und erstaunliche Aufgabe! Danke dafür!
Ich wollte nur eine kleine Anmerkung zum physikalischen Aspekt der ganzen Geschichte machen:
Die Berechnung beruht auf der Annahme, dass sich die Gleise tatsächlich um 2meter "verlängern", wenn sie einer Temperaturschwankung von beispielsweise 30-40° unterliegen. Die Formeln zur Längenausdehnung von Metallen aus der Schulformelsammlung gelten allerdings nur, wenn das betreffende Metallstück sich "frei" ausdehnen KANN!
Da die Bahngleise nun aber alle miteinander verschweißt sind (zumindest bei einem gewissen Teil unseres Schienennetzes ist das so), kann sich das Metall nicht einfach ausdehnen. Stattdessen entstehen Druck- oder Zugspannungen IM Material, und das Gleis bleibt weitgehend da liegen, wo es liegt.
Das ist etwa so wie mit der Luft im Autoreifen. Wird der Reifen durch Sonne/Sommer/Reibung warm, wird er dadurch (fast) nicht größer, es erhöht sich vielmehr der Luftdruck im Inneren. Steigt der Druck ZU sehr, kann der Reifen platzen.
Genauso kann das Eisenbahngleis brechen, wenn die inneren Spannungen aufgrund Temperaturschwankung zu groß werden. Die Bahningenieure rechnen aber da sehr gut, so dass bei deutschem Klima da fast nie etwas passiert... (Stahl hält Zugspannungen von ca. [mm] 7*10^8 N/m^2 [/mm] aus, ohne zu reißen/brechen (um einmal eine Größenordnung anzugeben); Das entspricht dem Anhängen von 7 Tonnen an ein Stahlstück mit [mm] 1cm^2 [/mm] Querschnitt. Solche Spannungen werden im Gleis aber bei weitem noch nicht erreicht, selbst wenn es in Deutschland Temperaturen zwischen -30°C und 50°C gibt...)
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Hallo!
Natürlich hast du damit vollkommen recht. Ne Schiene ist fest eingespannt, da bewegt sich nix. Wikipedia schreibt da auch ne Menge zu.
Da steht allerdings auch, daß das Problem der Längenausdehnung hauptsächlich dafür sorgt, daß die Schienen seitlich aus ihrer Lage ausbüchsen wollen, weshalb das Gleisbett auch seitlich für die Kräfte ausgelegt sein muß. (Gibt auch viele Bilder, die genau sowas zeigen, wenns dann doch passiert.)
Auch wird die Schiene sich weder zu ner Parabel, noch zu ner Kreisbahn aufrichten, das würde eher ne Zykloide sein, also das, was man von den zwischen zwei Pöllern hängenden Ketten auf der Straße kennt. Daß die Schiene sich unter ihrem eigenen Gewicht staucht und auch die doppel-T-Form ihre ganz eigenen Auswirkungen hat, wird ja ebenfalls nicht berücksichtigt.
Es ging hier doch nur um ein nettes Gedankenspiel. (Man hätte was anderes draus machen können: Wieviel tiefer hängen Hochspannungsleitungen im Sommer?)
Aber trotzdem, danke für die Infos!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo liebe Mathematiker(innen),
ich habe mich sehr gefreut zu sehen, wie viele Menschen es hier gibt, die sich aus reinem Interesse mit Mathematik befassen.
Die Lösungen muß ich ja eigentlich nicht mehr posten, weil ihr sie schon gefunden habt.
Und das, obwohl den Bestimmungsgleichungen für den Kreisbogenfall und den Parabelfall tatsächlich nur per numerischer Approximation beizukommen war.
Hier sind sie trotzdem noch einmal:
Für den Kreisbogen:
$s = 5000$ (ursprüngliche Schienenlänge)
$b = 5002$ (Bogenlänge nach Ausdehnung)
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \frac{b}{r}$ ($\phi$ [/mm] im Bogenmaß, r = Kreisradius)
Dann gilt $s = 2r [mm] \sin \frac{b}{2r}$
[/mm]
Näherungsweise Lösung mit MuPAD liefert:
$r [mm] \approx [/mm] 51058.59523$
[mm] $\phi \approx [/mm] 5.613031221°$
Einsetzen und auflösen in $(r - [mm] h)^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{4} s^2 [/mm] = [mm] r^2$ [/mm] liefert $h [mm] \approx [/mm] 61.24091763 m$
Für die Parabel:
Ich habe ich den Ansatz $f(x) = [mm] -ax^2 [/mm] + c$ gewählt.
Die Länge des einen Parabelbogens ist dann gegeben durch
[mm] $\int_0^{2500} \sqrt{4 a^2 x^2 + 1}$
[/mm]
Für die entsprechende Gleichung
[mm] $\int_0^{2500} \sqrt{4 a^2 x^2 + 1} [/mm] = 2501$ liefert MuPAD ein Ergebnis von ca.
$a [mm] \approx [/mm] 0.000009799722203$.
Es folgt $c [mm] \approx [/mm] 61.24826377$ m maximale Höhe.
Ich habe außerdem den Ansatz gesehen, daß die Schienen an einer Stelle knicken und dann in Form eines Dreiecks nach oben stehen. Sofern der Knickpunkt genau in der Mitte ist, ergibt sich mit Pythagoras sogar eine Höhe von ca. 70,72 m. Das ist auch die maximal erreichbare Höhe, was man leicht einsieht, wenn man bedenkt, daß für jeden Punkt der "Schienenverlaufsfunktion" gelten muß: Die Summe der Abstände zum linken und rechten Befestigungspunkt ist maximal 5002 und der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände zu 2 gegebenen Punkten genau 5002 ist, ist eine Ellipse.
Liebe Grüße und weiterhin viel Freude
und tiefe Einsichten bei der Erforschung der Mathematik wünscht euch
Will
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