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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 09.08.2014 | | Autor: | Count123 |
| Aufgabe | Bestimme eine Matrix [mm] Q^{5 \times 5}, [/mm] Q rat. Zahlen
Minimalpolynom: [mm] (x^{2}+1)(x-1)(x-2) [/mm]
char Polynom: [mm] (x^{2}+1)(x-1)(x-2)^{2}
[/mm]
Welche Dimension hat der Eigenraum zum EW 2. |
Hallo :)
Kann mir jemand sagen, wie man leicht auf diese Matrix kommt. Gibt es da irgendwelche Tricks. Ich bin in LAI und wir hatten noch nicht so viel..aber das soll irgendwie leicht gehen.
Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann.
Die Dimension müsste doch 2 sein, wegen char poly. bzw. der algebraischen Vielfachheit der Nullstelle 2 oder?
Danke sehr :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Sa 09.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Bestimme eine Matrix [mm]Q^{5 \times 5},[/mm] Q rat. Zahlen
>
> Minimalpolynom: [mm](x^{2}+1)(x-1)(x-2)[/mm]
> char Polynom: [mm](x^{2}+1)(x-1)(x-2)^{2}[/mm]
>
> Welche Dimension hat der Eigenraum zum EW 2.
> Hallo :)
>
> Kann mir jemand sagen, wie man leicht auf diese Matrix
> kommt. Gibt es da irgendwelche Tricks. Ich bin in LAI und
> wir hatten noch nicht so viel..aber das soll irgendwie
> leicht gehen.
> Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann.
Was weisst Du denn? Kannst Du zu einer gegebenen Matrix das charakteristische Polynom berechnen? Hast Du gar keine Vermutung wie die Matrix aussehen koennte? Die Matrix ist uebrigens nicht eindeutig bestimmt, sodass Du in gewisser Weise viele Freiheiten hast.
>
> Die Dimension müsste doch 2 sein,
Ja.
> wegen char poly. bzw.
> der algebraischen Vielfachheit der Nullstelle 2 oder?
Dieser "Satz" ist ja wohl nicht zu verstehen.
>
> Danke sehr :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 09.08.2014 | | Autor: | Count123 |
Die Begriffe kenne ich natürlich..also char. Polynom und Minimalpolynom. beides kann ich ausrechnen.
Also anhand des char. Polynoms sieht man, dass i, -i, 1 und 2 (zweifach!) Eigenwerte sind. Da man aber keine komplexe Matrix, sondern eine Matrix über den rationalen Zahlen braucht, muss es einen 2 [mm] \times [/mm] 2 Block geben.
Meine Matrix sähe damit wie folgt aus:
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Aber das stimmt leider nicht :( die Polynome passen dann nicht..
Danke nochmal für Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 09.08.2014 | | Autor: | hippias |
Ich finde das sieht gut aus. Rechne doch einmal vor, wie das charakteristische und Minimal- Polynom dieser Matrix lautet. Oder woher weisst Du, dass diese Matrix keine richtige Loesung ist?
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