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Stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
Wenn ich 2 linear unabhängige Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] habe spannen diese ja einen Unterraum der dim 2 auf. Spannen sie damit trotzdem den [mm] \IR^3 [/mm] auf?
Für einen Tip wäre ich dankbar!
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> Stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
> Wenn ich 2 linear unabhängige Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm] habe
> spannen diese ja einen Unterraum der dim 2 auf. Spannen sie
> damit trotzdem den [mm]\IR^3[/mm] auf?
Hallo,
nein, den [mm] \IR^{3} [/mm] spannen sie nicht auf.
Der [mm] \IR^3 [/mm] hat ja die Dimension 3, man braucht also mindestens 3 Vektoren, um ihn aufzuspannen.
Jede Basis (minimales Erzeugendensystem) des [mm] \IR^3 [/mm] enthält drei Elemente.
Allerdings ist der von zwei linear unabhängigen Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] aufgespannte Raum, wie Du selbst schreibst, ein Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] also insbes. eine Teilmenge.
Beispiel: nehmen wir [mm] \vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6} \in \IR^3.
[/mm]
Der von den beiden aufgespannte Raum ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] welche durch den Nullpunkt geht.
Den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] kannst Du mit den beiden nicht erzeugen. Also spannen sie nicht den [mm] \IR^3 [/mm] auf.
Gruß v. Angela
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