Auflösen einer Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich habe das gleichgesetzt:
ax²=2x-4
aber ich weiß nicht, wie ich es auflösen soll..
(die aufgabe lautete: welche parabel der schar y=ax² berührt die gerade der gleichung y=2x-4)
könnt ihr mir weiter helfen??ß
viele grüße
informacao
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hi,
danke für die schnelle antwort. ich hab da jetzt stehen:
[mm] x_{1,2}= [/mm] 2 [mm] \pm \bruch{\wurzel{4-16a}}{2a}
[/mm]
und ich komme nicht weiter..was muss ich machen?
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 14.11.2006 | | Autor: | Brinki |
Damit die Parabel mit der Geraden einen Berührpunkt hat, muss der Ausdruck unter der Wurzel 0 ergeben. Wäre die Wurzel nämlich negativ, hätten wir keinen Schnittpunkt zwischen Gerade und Parabel im positiven Fall gäbe es zwei x-Werte, bei denen die y-Werte der Parabel und Geraden gleich sind (=2 Schnittpunkte).
Grüße
Brinki
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hi,
aber ich verstehs trotzdem nicht..also ich versteh, warum da jetzt der ausdruck unter der wurzel =0 ist, aber ich weiß nicht, was die lösung ist..
ich hab bei a=1/4 raus..und wie lautet nun der berührpunkt?
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
[mm] ax^2 [/mm] -2x +4=0
[mm] x^2 -2x*\bruch{1}{a} [/mm] + [mm] \bruch{4}{a} [/mm] =0
quadratische ergänzung
[mm] x^2 -2x*\bruch{1}{a} +\bruch{1}{a^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{4a}{a^2} [/mm] =0
(x - [mm] \bruch{1}{a} )^2 [/mm] = [mm] \bruch{4a-1}{a^2}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \pm \bruch{\wurzel{4a-1}}{a}
[/mm]
nur wenn die rechte seite null ist, erhalten wir eine einzige (eindeutige) lösung! wann ist die rechte seite gleich null: wenn der zähler unter der wurzel gleich null ist, also
4a-1 =0
4a=1
a= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
das wars eigentlich auch schon.
=> x= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{4}}=4 [/mm]
wenn du die lösung in deine gleichung einsetzt, kriegst du den berührpunkt heraus
y=2x-4 => y=2*4 -4 = 4
oder in die andere gleichung (ist wurscht in welche du x einsetzt)
[mm] y=ax^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*4^2 [/mm] = 4
d.h. mein berührpunkt B hat die koordinaten (4 / 4)
alles klar?!
gruß
wolfgang
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Hi,
ich glaube ich hab so ein paar umformungsschritte nicht verstanden..kannst du die mir bitte nochmal erklären?
> moin,
>
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> [mm]ax^2[/mm] -2x +4=0
>
> [mm]x^2 -2x*\bruch{1}{a}[/mm] + [mm]\bruch{4}{a}[/mm] =0
>
> quadratische ergänzung
>
> [mm]x^2 -2x*\bruch{1}{a} +\bruch{1}{a^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{a^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{4a}{a^2}[/mm] =0
woher kommt hier da sletzte glied??? also 4a/a²
>
>
> (x - [mm]\bruch{1}{a} )^2[/mm] = [mm]\bruch{4a-1}{a^2}[/mm]
das verstehe ich nicht..was hast du hier gemacht??
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{a}[/mm] = [mm]\pm \bruch{\wurzel{4a-1}}{a}[/mm]
>
> nur wenn die rechte seite null ist, erhalten wir eine
> einzige (eindeutige) lösung! wann ist die rechte seite
> gleich null: wenn der zähler unter der wurzel gleich null
> ist, also
>
> 4a-1 =0
>
> 4a=1
>
> a= [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> das wars eigentlich auch schon.
das ist alles klar.
>
> => x= [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{4}}=4[/mm]
aber das nicht??
>
>
> wenn du die lösung in deine gleichung einsetzt, kriegst du
> den berührpunkt heraus
>
> y=2x-4 => y=2*4 -4 = 4
>
> oder in die andere gleichung (ist wurscht in welche du x
> einsetzt)
>
> [mm]y=ax^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}*4^2[/mm] = 4
>
>
> d.h. mein berührpunkt B hat die koordinaten (4 / 4)
>
>
> alles klar?!
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> gruß
> wolfgang
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hoffe du hilfst mir nochmal!
viele grüße
informacao
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Hallo, Du hast ja [mm] x-2x\bruch{1}{a}+\bruch{4}{a}=0, [/mm] den Term [mm] \bruch{4}{a} [/mm] erweiterst Du mit a, erhälst [mm] \bruch{4a}{a^{2}} [/mm] der Term sollte geklärt sein,
damit Du die binomische Formel benutzen kannst, brauchst Du die Quadratisch Ergänzung du addierst etwas, was Du gleich wieder subtrahierst, so hast Du den Wert des Terms nicht verändert, [mm] +\bruch{1}{a^{2}}-\bruch{1}{a^{2}} [/mm] sollte auch klar sein,
so erhälst Du [mm] x-2x\bruch{1}{a}+\bruch{1}{a^{2}}+\bruch{4a}{a^{2}}-\bruch{1}{a^{2}}=0
[/mm]
aus den ersten drei Termen kannst Du laut Binomischer Formel bilden:
[mm] (x-\bruch{1}{a})^{2}+\bruch{4a}{a^{2}}-\bruch{1}{a^{2}}=0
[/mm]
[mm] (x-\bruch{1}{a})^{2}+\bruch{4a-1}{a^{2}}=0
[/mm]
jetzt solltest Du weiter kommen, bedenke: das Quadrat von z. B. -2 und 2 ist 4
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Di 14.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi,,
cool danke!!
hab alles verstanden!!
viele grüße und danke!
informacao
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Hallo informaco,
ich bin der Meinung, Ihr seid auf einem völlig falschem Weg:
1. gegeben sind eine lineare Funktion y=2x-4 und eine quadratische Funktion,
2. beide berühren sich, also ist die lineare Funktion eine Tangente an die quadratische Funktion, skizziere Dir mal beide Funktionen, Du erkennst, die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht und es gibt nur eine Parabel, also ein a,
3. wir müssen die 1. Ableitung bilden: [mm] y=ax^{2}, [/mm] y´=2ax, der Faktor vor x der linearen Funktion gibt unseren Anstieg (2) an, ergibt 2=2ax, umgestellt nach [mm] a=\bruch{1}{x}
[/mm]
4. jetzt gleichsetzen: [mm] ax^{2}=2x-4, a=\bruch{1}{x} [/mm] einsetzen, [mm] \bruch{1}{x}x^{2}=2x-4, [/mm] ergibt x=2x-4, ergibt x=4, also an der Stelle x=4 berühren sich die Funktionen,
5. aus [mm] a=\bruch{1}{x} [/mm] folgt a=0,25,
6. die quadratische Funktion lautet: [mm] y=0,25x^{2}
[/mm]
7. Du kannst Dir ja mal beide genau zeichnen, dann siehst Du schön, wie sie sich berühren,
viel Erfolg beim Nachrechnen,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Di 14.11.2006 | | Autor: | Informacao |
hi,
ich hatte aber noch keine ableitungen...
informacao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 14.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Sorry,
ich hatte gelesen 11. am Gymnasium, dachte Du hast schon Ableitungen, aber wie Du siehst, gleiche Ergebnisse a=0,25
Viel Erfolg Steffi
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http://www.netalive.org/rationale-funktionen/formeln/quadratische_loesungsformel.html
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