Auflösbare Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 So 14.11.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Hallo Leute!
Hier mal eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann und über jede Hilfe sehr dankbar wäre:
Seien p und q Primzahlen. zeige, dass jede gruppe der ord=pq auflösbar ist.
Also, habe mir überlegt, dass, wenn man zeigen könnte, dass die Gruppe einen Normalteiler N der ord=q hat, dann wäre N auflösbar( das kann man dann doch wegen N abelsch einfach folgern,oder?) und auch die p-Gruppe G/N wäre auflösbar mit dem Satz, dass jede endliche p-Gruppe auflösbar ist.(Den Satz kann ich doch einfach voraussetzen,ohn eihn zu beweisen,oder?)Darus folgt dann ja mit dem Satz, dass "Ist N ein Normalteiler der gruppe G und sind N und G/N auflösbar, dann ist auch G auflösbar".(dies muss ich bei einer anderen Aufgabe noch genauer beweisen und ist hier nicht mehr relevant explizit zu zeigen).
Das wäre mein Ansatz bis jetzt, wobei mir halt der Anfang fehlt und ich nicht weiß, ob das schon genügen würde....
Vielen Dank und schönen Sonntag
Grüße
|
|
| |
|
Hallo Mone,
Ja, deine Intuition ist schon völlig richtig.
Unterscheide, ob die beiden Primzahlen gleich oder ungleich sind.
Sind sie gleich, dann zeige, dass bis auf Isomorphie nur 2 Gruppen der Ordnung [mm] p^2 [/mm] existieren. Beide sind abelsch.
Sind sie ungleich und sei p die kleinere der beiden Primzahlen, dann betrachte die Anzahl der q-Sylowgruppen. Dann hast du schonmal deinen ersten Normalteiler (der abelsch ist) und dessen Faktorgruppe hat die Ordnung p und ist damit abelsch.
Liebe Gruss,
Irrlicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Hallo Irrlicht!
Okay, wenn ich diesen Unterschied zwischen p=q und q ungleich p hinbekommen habe ( den musste ich schonmal ausfürglich bei einer Aufgabe zeigen, da ging es um die Gruppen der Ord=961 und ord=899 und da muss man ja auch diese Fallunterscheidung machen,um Isomorphie zu prüfen). Dann weiß ich aber nicht, wie ich weiterverfahren soll bzw, was es mit meiner Aufgabe zu tun hat(zumindest nicht so direkt). Kann ich mit meinem Beweisansatz dann weitermachen? Wie kann ich hier argumentieren?
vielen Dank
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Mone,
Also sei p < q prim. Dann rechne dir mithilfe der Sylowsaetze die Anzahl der q-Sylowgruppen aus. Du wirst festellen, dass es davon nur eine gibt. Da je zwei q-Sylowgruppen zueinander konjugiert sind (auch ein Sylowsatz), folgt daraus, dass diese eine q-Sylowgruppe S normal in G ist. G/S ist abelsch, weil zyklisch.
Wir erhalten also den Anfang der gesuchten Normalreihe mit abelschen Faktoren
$G [mm] \supset [/mm] S$.
Wenn du nun weisst, dass jede q-Gruppe aufloesbar ist, dann bist du schon fertig, denn dann kannst du deine Normalreihe ergaenzen. Wenn du das nicht weisst, musst du das noch zeigen.
Liebe Gruesse,
Irrlicht
|
|
|
|
