Aufleitung lnx-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
die Funktion [mm] f_{t}(x)=(lnx-t)^2 [/mm] soll aufgeleitet werden, also das Integral gebildet werden. Im Moment stehe ich auf dem Schlauch und kann nicht einmal einen Lösungsansatz geben. Ich denke, dass die Kettenregel hier weiterhelfen könnte.
Außerdem weiß ich nicht, wie man lnx aufleitet. Die Aufleitung lautet x*lnx-x. Wie man dort hinkommt verstehe ich aber leider nicht.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Ich habe vergessen zu schreiben, dass x>0 gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Back-Up!
> die Funktion [mm]f_{t}(x)=(lnx-t)^2[/mm] soll aufgeleitet werden,
> also das Integral gebildet werden.
Zunächst die Klammer ausmultiplizieren und anschließend summandenweise integrieren:
[mm]f_t(x) \ = \ \left[\ln(x)-t\right]^2 \ = \ \ln^2(x) - 2*t*\ln(x) + t^2[/mm]
Um den Ausdruck [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] zu integrieren, bietet sich das Verfahren der partiellen Integration an:
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {u' * v \ dx} \ = \ u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u * v' \ dx}$
> Außerdem weiß ich nicht, wie man lnx aufleitet. Die
> Aufleitung lautet x*lnx-x. Wie man dort hinkommt verstehe
> ich aber leider nicht.
Auch hier kommt man mit partieller Integration weiter:
[mm] $\integral_{}^{} {\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\red{1} * \ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Nun ansetzen:
$u' \ = \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u \ = \ x$
$v \ = \ [mm] \ln(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Nach meiner Rechnung ist dann die Aufleitung von [mm] ln^2(x):
[/mm]
[mm] x*ln^2(x)-2ln(x)
[/mm]
Die Aufleitung der ganzen Funktion lautet dann:
[mm] (x*ln^2(x)-2ln(x))-(2t*(x*ln(x)-x))+\bruch{1}{3}*t^3
[/mm]
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Habe den Fehler gefunden. Meine neue Lösung für die Aufleitung von [mm] \ln^2(x):
[/mm]
[mm] \integral{1*\ln^2(x)}=[x*\ln^2(x)]-\integral{\bruch{x*2*ln(x)}{x}}
[/mm]
[mm] \integral{1*\ln^2(x)}=[x*\ln^2(x)]-\integral{2*ln(x)}
[/mm]
[mm] \integral{1*\ln^2(x)}=[x*\ln^2(x)]-[2x*\ln{x}-2x]
[/mm]
[mm] \integral{1*\ln^2(x)}=x*\ln^2(x)-2x*\ln{x}+2x
[/mm]
[mm] \integral{1*\ln^2(x)}=x*(\ln^2(x)-2*\ln{x}+2)
[/mm]
Lautet die gesamte Aufleitung dann?:
[mm] (x*(\ln^2(x)-2*\ln{x}+2))-(2t\cdot{}(x\cdot{}ln(x)-x))+t^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
[mm] F_{t}(x)=x*(ln^2(x)-2ln(x)+2-t(2ln(x)+2+t))
[/mm]
Kann man noch weiter zusammenfassen und sortieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
> [mm]F_{t}(x)=x*(ln^2(x)-2ln(x)+2-t(2ln(x)+2+t))[/mm]
>
> Kann man noch weiter zusammenfassen und sortieren?
Ich hätte wahrscheinlich etwas anders sortiert (nach [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] und [mm] $\ln(x)$), [/mm] aber das ist Geschmackssache ...
Deine Variante ist auch ok, da faktorisiert.
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Back-Up |
Danke für die Hilfe!
Gruß
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da fehlen mir noch ein paar $x$ in dieser Stammfunktion.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Der Parameter $t$ ist doch als konstante Zahl anzusehen!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Prima!
