Aufgespannter Untervektorraum < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 15.05.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A [mm] \in R^{4x3} [/mm] und b [mm] \in R^{4} [/mm] durch A = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 3 & -1 }, [/mm] b= [mm] \vektor{b1 \\ b2 \\ b3 \\ b4}.
[/mm]
Es sei V [mm] \subset R^{4} [/mm] der durch die Vektoren v= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und w= [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -1 \\ 0} [/mm] aufgespannte Untervektorraum. Zeigen Sie: Das lineare Gleichungssystem Ax=b x [mm] \in R^{3} [/mm] ist genau dann lösbar, wenn b [mm] \in [/mm] V |
Die Lösung hierzu sieht so aus:
Das lineare Gleichungssystem Ax=b ist genau dann lösbar wenn b [mm] \in [/mm] W gilt. Wir haben also V = W zu zeigen.
" [mm] \subseteq [/mm] ": Wegen v= [mm] \bruch{1}{3} s_{2} \in [/mm] W und w = [mm] s_{2} [/mm] - [mm] s_{1} \in [/mm] W ist V= <v,w> [mm] \subseteq [/mm] W.
" [mm] \supseteq [/mm] ": Wegen [mm] s_{1} [/mm] = 3v-w [mm] \in [/mm] V und [mm] s_{3} [/mm] = w-v [mm] \in [/mm] V ist W = [mm] [/mm]
Ich verstehen diese Lösung allerings überhaupt nicht. Es wäre klasse wenn mir das mal jemand etwas genauer erklären könnte. Es geht schon mit diesem b [mm] \in [/mm] W los. Wo kommt den dieses W her? Mit [mm] s_{1}, s_{2} [/mm] und [mm] s_{3} [/mm] sind die Spaltenvektoren gemeint...
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 15.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sei die Matrix A [mm]\in R^{4x3}[/mm] und b [mm]\in R^{4}[/mm] durch
> A = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 3 & -1 },[/mm]
> b= [mm]\vektor{b1 \\ b2 \\ b3 \\ b4}.[/mm]
>
> Es sei V [mm]\subset R^{4}[/mm] der durch die Vektoren v= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und w= [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ -1 \\ 0}[/mm] aufgespannte
> Untervektorraum. Zeigen Sie: Das lineare Gleichungssystem
> Ax=b x [mm]\in R^{3}[/mm] ist genau dann lösbar, wenn b [mm]\in[/mm] V
> Die Lösung hierzu sieht so aus:
>
> Das lineare Gleichungssystem Ax=b ist genau dann lösbar
> wenn b [mm]\in[/mm] W gilt. Wir haben also V = W zu zeigen.
> " [mm]\subseteq[/mm] ": Wegen v= [mm]\bruch{1}{3} s_{2} \in[/mm] W und w =
> [mm]s_{2}[/mm] - [mm]s_{1} \in[/mm] W ist V= <v,w> [mm]\subseteq[/mm] W.
> " [mm]\supseteq[/mm] ": Wegen [mm]s_{1}[/mm] = 3v-w [mm]\in[/mm] V und [mm]s_{3}[/mm] = w-v
> [mm]\in[/mm] V ist W = [mm][/mm]
>
> Ich verstehen diese Lösung allerings überhaupt nicht. Es
> wäre klasse wenn mir das mal jemand etwas genauer
> erklären könnte. Es geht schon mit diesem b [mm]\in[/mm] W los. Wo
> kommt den dieses W her? Mit [mm]s_{1}, s_{2}[/mm] und [mm]s_{3}[/mm] sind die
> Spaltenvektoren gemeint...
Es ist wohl W = [mm] <$s_1 [/mm] , [mm] s_2 [/mm] , [mm] s_3$>.
[/mm]
Vielleicht findest Du einen Satz, der besagt, ein überbestimmtes,
lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b eine
Linearerkombination der Spalten von A ist.
> Vielen Dank schon mal.
Gruß
meili
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