Aufgaben zu Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Do 25.05.2006 | | Autor: | arual |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{36x-48}{x³} [/mm] Das Schaubild sei K.
a) Asymptoten, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte
Bestimmen Sie anhand des Schaubildes K die Anzahl der Lösungen der Gleichung [mm] \bruch{36x-48}{x³}=c [/mm] in Abhängigkeit von c.
b) Die Kurve K, die x-Achse und die Gerade x=z mit z>4/3 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(z). Berechnen Sie A(z). Untersuchen Sie A(z) für z gegen unendlich.
c) P(u;v) mit u>4/3 ist ein Punkt von K. Der Schnittpunkt N von K mit der x-Achse, der Punkt r(u;0) und P sind Eckpunkte eines Dreiecks NRP. Bestimmen Sie u so, dass der Inhalt dieses Dreiecks extremal wird. Ermitteln Sie die Art des Extremums und seinen Wert.
d) Die Hyperbel [mm] y=\bruch{a}{x} [/mm] mit a>0 berührt K. Bestimmen Sie a und den Berührpunkt.
Zeigen Sie: Mit Ausnahme des Berührpunktes verläuft diese Hyperbel für x>0 stets oberhalb von K. |
Hallo liebe Matheraum-Leute!
Ich habe mal wieder eine Aufgabe zum korrigieren und wäre glücklich über Teilaufgaben, die ich noch nicht lösen konnte.
Hier meine Ergebnisse bzw. Fragen:
a)senkrechte Asymptote: x=0 waagerechte Asymptote: y=0
[mm] Px(\bruch{4}{3};0)
[/mm]
Pmax(2;3)
[mm] PW(\bruch{8}{3};\bruch{81}{32})
[/mm]
Bei der Frage nach der Anzahl der Lösungen weiß ich nicht wirklich wie ich daran gehen soll. Gezeichnet habe ich die Funktion, aber wie komme ich auf die Anzahl der Lösungen?
b) [mm] A(z)=\bruch{13,5z²-36z+24}{z²} [/mm] und gegen unendlich komme ich dann auf 13,5. Ist das richtig?
c) Hier komme ich auf u=4, sodass P(4;1,5) ist und der Flächeninhalt 2 FE beträgt. Richtig?
d) Hier weiß ich nicht so richtig. Um den Berührpunkt zu berechnen muss ich ja gleichsetzen. Also: [mm] \bruch{a}{x}=\bruch{36x-48}{x³}. [/mm] Wenn ich das nach a umstelle würde ich auf [mm] \bruch{36x-48}{x²} [/mm] kommen. Aber was hilft mir das weiter. Wäre nett, wenn mir jemand hier einen Tipp geben könnte.
So das war's, tut mir leid, dass es so viel ist, aber wäre nett, wenn mir jemand helfen würde.
Lg arual
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo arual
> [mm]f(x)=\bruch{36x-48}{x³}[/mm] Das Schaubild sei K.
>
> a) Asymptoten, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und
> Wendepunkte
> Bestimmen Sie anhand des Schaubildes K die Anzahl der
> Lösungen der Gleichung [mm]\bruch{36x-48}{x³}=c[/mm] in Abhängigkeit
> von c.
>
> b) Die Kurve K, die x-Achse und die Gerade x=z mit z>4/3
> begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(z). Berechnen Sie
> A(z). Untersuchen Sie A(z) für z gegen unendlich.
>
> c) P(u;v) mit u>4/3 ist ein Punkt von K. Der Schnittpunkt N
> von K mit der x-Achse, der Punkt r(u;0) und P sind
> Eckpunkte eines Dreiecks NRP. Bestimmen Sie u so, dass der
> Inhalt dieses Dreiecks extremal wird. Ermitteln Sie die Art
> des Extremums und seinen Wert.
>
> d) Die Hyperbel [mm]y=\bruch{a}{x}[/mm] mit a>0 berührt K. Bestimmen
> Sie a und den Berührpunkt.
> Zeigen Sie: Mit Ausnahme des Berührpunktes verläuft diese
> Hyperbel für x>0 stets oberhalb von K.
> Hallo liebe Matheraum-Leute!
>
> Ich habe mal wieder eine Aufgabe zum korrigieren und wäre
> glücklich über Teilaufgaben, die ich noch nicht lösen
> konnte.
>
> Hier meine Ergebnisse bzw. Fragen:
>
> a)senkrechte Asymptote: x=0 waagerechte Asymptote: y=0
> [mm]Px(\bruch{4}{3};0)[/mm]
richtig
> Pmax(2;3)
richtig
> [mm]PW(\bruch{8}{3};\bruch{81}{32})[/mm]
Hier hab ich xw=3 rechne also noch mal nach!
> Bei der Frage nach der Anzahl der Lösungen weiß ich
> nicht wirklich wie ich daran gehen soll. Gezeichnet habe
> ich die Funktion, aber wie komme ich auf die Anzahl der
> Lösungen?
Wenn du mit [mm] x^{3} [/mm] mult. und alles auf eine Seite bringst, hast du ein Polynom 3. Grades.
Entweder eine oder 3 Nullstellen.
Mindestens eine, weil es insgesamt [mm] -\infty [/mm] und + [mm] \infty [/mm] erreicht für große x
Jetzt musst du nur noch entscheiden was dabei in Abh. von c der Fall ist.
>
> b) [mm]A(z)=\bruch{13,5z²-36z+24}{z²}[/mm] und gegen unendlich komme
> ich dann auf 13,5. Ist das richtig?
Hab nicht nachgerechnet.
> c) Hier komme ich auf u=4, sodass P(4;1,5) ist und der
> Flächeninhalt 2 FE beträgt. Richtig?
nicht nachgerechnet.
> d) Hier weiß ich nicht so richtig. Um den Berührpunkt zu
> berechnen muss ich ja gleichsetzen. Also:
> [mm]\bruch{a}{x}=\bruch{36x-48}{x³}.[/mm] Wenn ich das nach a
> umstelle würde ich auf [mm]\bruch{36x-48}{x²}[/mm] kommen. Aber was
> hilft mir das weiter. Wäre nett, wenn mir jemand hier einen
> Tipp geben könnte.
Am Berüührpunkt müssen auch die Steigungen gleich sein. dann hast du 2 Gl. mit den 2 Unbekannten xs und a.
> So das war's, tut mir leid, dass es so viel ist, aber wäre
> nett, wenn mir jemand helfen würde.
Wenn du deine Rechng. aufschreibst, müssen wir nur nachsehen, und nicht alles neu rechnen, Soooo viel Spass machen so Aufgaben ja doch nicht!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 26.05.2006 | | Autor: | arual |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Könnte mir nochmal jemand erklären, wie ich bei a) auf die Anzahl der Lösungen komme, dass habe ich nicht verstanden. Ich habe doch dann 0=c*x³-36x+48 Aber was mache ich dann?
Und bei d): Das habe ich auch nicht verstanden, könnte das bitte nochmal jemand etwas ausführlicher erklären.
Schon mal danke im Voraus.
LG arual
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Arual
> Könnte mir nochmal jemand erklären, wie ich bei a) auf die
> Anzahl der Lösungen komme, dass habe ich nicht verstanden.
> Ich habe doch dann 0=c*x³-36x+48 Aber was mache ich dann?
Der Rat war so falsch! Du musst nach deiner Anleitung vorgehen.
Wenn du das Bild siehst, hat es, wie ja auch ausgerechnet 1 Nst, und die waagerechten Assymptoten, wo die Kurve auf beiden Seiten oberhalb (also positiv bleibt!
Wenn du die Kurve wenig nach unten verschiebst, also ein kleines c abziehst, entstehen 2 zusätzliche 0 Stellen . Wenn du aber mehr als 3 nach unten schiebst , also das Maximum unter die X- Achse hast du nur noch eine, auf der neg Halbachse. Wenn du genau um 3 nach unten schiebst siehst dus hoffentlich selbst.
> Und bei d): Das habe ich auch nicht verstanden, könnte das
> bitte nochmal jemand etwas ausführlicher erklären.
bei d) hast du 2 Möglichkeiten:
1. Weg: du schneidest die 2 Kurven. dann kriegst du die Schnittpunkte xs in Abhängigkeit von a. Diese Quadrat. Gleichung für xs hat keine, eine oder 2 Lösungen! wähle a so, dass es nur eine Lösung gibt. (Wurzel=0)
2. Weg: 1. Die 2 Funktionen müssen gleich sein, 2. die Ableitungen der 2 Funktionen müssen gleich sein. Daraus hast du 2 Gleichungen für a, die setzt du gleich, daraus ergibt sich ein x daraus das a.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 27.05.2006 | | Autor: | arual |
Danke für die Antwort!
Ich stelle mal meine Lösungsversuche rein, wäre nett, wenn mir jemand, ob sie richtig sind.
a) Hier habe ich folgendes:
[mm] c\le0 [/mm] 1 Lösung
0<c<3 3 Lösungen
c=3 2 Lösungen
c>3 1 Lösung
Habe ich deinen Tipp richtig verstanden und auch richtig umgesetzt?
d)
> bei d) hast du 2 Möglichkeiten:
> 1. Weg: du schneidest die 2 Kurven. dann kriegst du die
> Schnittpunkte xs in Abhängigkeit von a. Diese Quadrat.
> Gleichung für xs hat keine, eine oder 2 Lösungen!
[mm] \bruch{36x-48}{x³}=\bruch{a}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{36x²-48x}{x³}=a
[/mm]
[mm] \bruch{36}{x}-\bruch{48}{x²}-a=0
[/mm]
[mm] \bruch{36x-48-ax²}{x²}=0
[/mm]
-ax²+36x-48=0
[mm] x²-\bruch{36}{a}x+\bruch{48}{a}=0
[/mm]
x1/2= [mm] \bruch{36}{2a}\pm \wurzel{\bruch{1296-48a}{a²}}
[/mm]
>wähle a so, dass es nur eine Lösung gibt. (Wurzel=0)
1296-48a=0
a=27
x=2/3
So hätte ich das jetzt nach deiner Anweisung gemacht, aber wenn ich das mit dem zweiten Weg rechne komme ich auf ein anderes Ergebnis, deshalb stelle ich hier auch mal das ergebnis rein.
> 2. Weg: 1. Die 2 Funktionen müssen gleich sein, 2. die
> Ableitungen der 2 Funktionen müssen gleich sein. Daraus
> hast du 2 Gleichungen für a, die setzt du gleich, daraus
> ergibt sich ein x daraus das a.
Erstmal meine Frage: Woher weiß ich, dass die Ableitungen gleich sein müssen?
Wenn ich die Gleichungen gleichsetze komme ich auf
[mm] a=\bruch{36x-48}{x²}
[/mm]
Bei den Ableitungen komme ich auf:
[mm] \bruch{-72x+144}{x^{4}}=\bruch{-a}{x²}
[/mm]
[mm] a=\bruch{72x-144}{x²}
[/mm]
So jetzt beides gleichsetzen:
36x-48=72x-144
-36x=-96
[mm] x=\bruch{8}{3}
[/mm]
a=6,75
So ist nun eins von den Ergebnissen richtig und wenn ja welches?
Und wie zeige ich, dass diese Hyperbel für x>0 mit Ausnahme des Berührpunktes immer oberhalb von K verläuft?(letzter Aufgabenteil)
Wäre echt nett, wenn das nochmal jemand durchgucken könnte und mir helfen würde.
LG arual
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 27.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Arual
> Ich stelle mal meine Lösungsversuche rein, wäre nett, wenn
> mir jemand, ob sie richtig sind.
>
> a) Hier habe ich folgendes:
> [mm]c\le0[/mm] 1 Lösung
> 0<c<3 3 Lösungen
> c=3 2 Lösungen
> c>3 1 Lösung
>
> Habe ich deinen Tipp richtig verstanden und auch richtig
> umgesetzt?
richtig, nur solltest du etwas Text zur Begründung dazufügen, wenn es ne Prüfungsaufgabe wär.
> d)
> > bei d) hast du 2 Möglichkeiten:
> > 1. Weg: du schneidest die 2 Kurven. dann kriegst du die
> > Schnittpunkte xs in Abhängigkeit von a. Diese Quadrat.
> > Gleichung für xs hat keine, eine oder 2 Lösungen!
>
> [mm]\bruch{36x-48}{x³}=\bruch{a}{x}[/mm]
> [mm]\bruch{36x²-48x}{x³}=a[/mm]
> [mm]\bruch{36}{x}-\bruch{48}{x²}-a=0[/mm]
> [mm]\bruch{36x-48-ax²}{x²}=0[/mm]
> -ax²+36x-48=0
> [mm]x²-\bruch{36}{a}x+\bruch{48}{a}=0[/mm]
> x1/2= [mm]\bruch{36}{2a}\pm \wurzel{\bruch{1296-48a}{a²}}[/mm]
Hier liegt der Hund begraben! in der Wurzel hast du [mm] 36^{2} [/mm] statt [mm] 18^{2} [/mm]
> >wähle a so, dass es nur eine Lösung gibt. (Wurzel=0)
>
> 1296-48a=0
nein 324-48a=0
> a=27
a=27/4
> x=2/3
>
> So hätte ich das jetzt nach deiner Anweisung gemacht, aber
> wenn ich das mit dem zweiten Weg rechne komme ich auf ein
> anderes Ergebnis, deshalb stelle ich hier auch mal das
> ergebnis rein.
>
> > 2. Weg: 1. Die 2 Funktionen müssen gleich sein, 2. die
> > Ableitungen der 2 Funktionen müssen gleich sein. Daraus
> > hast du 2 Gleichungen für a, die setzt du gleich, daraus
> > ergibt sich ein x daraus das a.
>
> Erstmal meine Frage: Woher weiß ich, dass die Ableitungen
> gleich sein müssen?
>
> Wenn ich die Gleichungen gleichsetze komme ich auf
> [mm]a=\bruch{36x-48}{x²}[/mm]
> Bei den Ableitungen komme ich auf:
> [mm]\bruch{-72x+144}{x^{4}}=\bruch{-a}{x²}[/mm]
> [mm]a=\bruch{72x-144}{x²}[/mm]
>
> So jetzt beides gleichsetzen:
> 36x-48=72x-144
> -36x=-96
> [mm]x=\bruch{8}{3}[/mm]
> a=6,75=27/4
richtig
> So ist nun eins von den Ergebnissen richtig und wenn ja
> welches?
>
> Und wie zeige ich, dass diese Hyperbel für x>0 mit Ausnahme
> des Berührpunktes immer oberhalb von K verläuft?(letzter
> Aufgabenteil)
Behauptung :
> [mm]\bruch{36x-48}{x³}<\bruch{a}{x}[/mm] für a=27/4, [mm] x\ne [/mm] 8/3, x>0
wegen x>0 umformen zu: [mm] $27/4*x^2>36x-48$ $27/4x^2-36x+48>0$
[/mm]
links steht ne nach oben geöffnete Parabel mit Min. und Nullstelle bei x=8/3 also stimmt die Behauptung:
Hier schreibt man besser die letzte Gleichung zuerst, und geht rückwärts. (x>0 braucht man, damit man die Ungleichung damit multiplizieren oder dividieren kann!)
Gruss leduart
|
|
|
|
