Aufgaben aus der Mathematik < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Pavel2 |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie folgenden Satz!
Wenn von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die kleinste Zahl gerade ist, dann ist das Produkt dieser Zahlen durch 4 Teilbar. |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie folgenden Satz!
Wenn a und b rationale Zahlen sind, für die a>2 und b>2 gilt, dann gilt auch a*b>a+b. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich das nicht kann mit dem Beweisen brauch ich hilfe ich hoffe einer kan mir helfen
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Hallo Pavel!
Wie sieht es denn mit eigenen Lösungsansätzen aus?
Naja, hier mal ein Tipp für die 1. Aufgabe:
Wenn die erste (= kleinste) Zahl eine gerade Zahl ist, lässt sie sich in der Form $2*k_$ darstellen.
Wie lauten nun die folgenden beiden Zahlen? Schreib dann das Produkt dieser 3 Zahlen auf und versuche, möglichst viel auszuklammern.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zur Aufgabe 1 hat Roadrunner schon den Tipp gegeben. Denk dabei an das Wort " drei aufeinanderfolgende", d.h. nämlich, wenn die erste Zahl gerade ist, dann ist die übernächste (also die dritte) auch gerade. Dann kannst Du zwei 2'en ausklammer.
zur Aufgabe 2: Schreibe die Zahlen als Brüche (denn sie sind rational)
[mm] $a=\frac{a_1}{a_2}$ [/mm] und [mm] $b=\frac{b_1}{b_2}$
[/mm]
Jetzt schreibst Du die zu zeigende Ungleichung mit den Brüchen einmal auf
[mm] $\frac{a_1}{a_2}\cdot\frac{b_1}{b_2}>\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}$
[/mm]
Nun bringe beide Seiten auf den selben Nenner
[mm] $\frac{a_1b_1}{a_2b_2}>\frac{a_1b_2+a_2b_1}{a_2b_2}$
[/mm]
Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner
[mm] $a_1b_1>a_1b_2+a_2b_1$
[/mm]
Wenn wir das zeigen können, sind wir fertig. Nun kommt die Voraussetzung $a>2$ und $b>2$ ins Spiel. Wir wissen daher nämlich, dass der Zähler größer als zweimal der Nenner ist, d.h.
[mm] $a_1>2\cdot a_2$ [/mm] und [mm] $b_1>2\cdot b_2$
[/mm]
Teilen wir diese Ungleichungen auf beiden Seiten durch 2 so bekommen wir
[mm] $\frac{1}{2}a_1>a_2$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{2}b_1>b_2$
[/mm]
Damit schaffen wir es:
[mm] $a_1b_2+a_2b_1<\frac{1}{2}a_1b_1+\frac{1}{2}a_1b_1=a_1b_1$
[/mm]
und wir sind fertig.
Viel Glück. Und damit nicht alles umsonst gewesen ist, solltest Du diese Aufgabe in der Schule vorrechnen und Pluspunkte sammeln 
Ciao Denny
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