Aufgaben Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Habt ihr ein paar Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes auf reelle Integrale ?
Ich würde das ganz gerne üben :)
Lg Peter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 03.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> Habt ihr ein paar Beispiele zur Anwendung des
> Residuensatzes auf reelle Integrale ?
Aufgaben findest Du in jedem Buch zur Funktionenthoerie
oder hier:
http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/Mathe-Online/kurse/ft/03-singularitaeten/02/index.html
oder : Google
FRED
>
> Ich würde das ganz gerne üben :)
>
>
> Lg Peter
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort!
Ich möchte gerne
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\frac{1}{x^3 +1}dx [/mm] = [mm] \frac{\pi}{8}$ [/mm]
zeigen.
Wir sehen uns also mal [mm] $g(z)=z^3 [/mm] +1$ an und schauen wo g(z) = 0 ist - dies führt uns zu den Nullstellen
[mm] $z_{1}$ [/mm] = -1
[mm] $z_2 [/mm] = -exp(2 [mm] \pi [/mm] i /3)$
[mm] $z_3 [/mm] = -exp(4 [mm] \pi [/mm] i /3)$
sofern ich mich nicht vertan habe...
kann ich nun $Res(1/g , [mm] z_k)$ [/mm] durch [mm] $\frac{f(z_k)}{g'(z_k)}$ [/mm] bestimmen?
gemacht habe ich es, aber im Endeffekt kommt Schwachsinn raus und nicht [mm] $\pi [/mm] /8 $
LG und Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:13 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
>
>
> Ich möchte gerne
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\frac{1}{x^3 +1}dx = \frac{\pi}{8}[/mm]
>
> zeigen.
>
> Wir sehen uns also mal [mm]g(z)=z^3 +1[/mm] an und schauen wo g(z) =
> 0 ist - dies führt uns zu den Nullstellen
>
> [mm]z_{1}[/mm] = -1
> [mm]z_2 = -exp(2 \pi i /3)[/mm]
> [mm]z_3 = -exp(4 \pi i /3)[/mm]
>
> sofern ich mich nicht vertan habe...
Hast Du nicht
>
> kann ich nun [mm]Res(1/g , z_k)[/mm] durch [mm]\frac{f(z_k)}{g'(z_k)}[/mm]
> bestimmen?
Was ist denn f ???
>
> gemacht habe ich es, aber im Endeffekt kommt Schwachsinn
> raus und nicht [mm]\pi /8[/mm]
Tag, was sollen wir nun tun, wenn Du uns so gänzlich ohne jede Deiner Rechnungen im Regen stehen lässt?
Fred
>
>
> LG und Danke
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Stimmt ich sollte vorrechnen.
Die Nullstellen sind also
$z_1= -1$
$z_2 = -exp(2 \pi i /3)$
$z_3 = -exp(4 \pi i /3)$
Wir haben eine gebrochen rationale Funktion der Form \frac{f(z)}{g(z)} , wobei f die konstante 1 Funktion und g(z)=z^3+1
Da der Grad von g \ge 2 als der von f gilt : $Res(1/g(z), z_k) = \frac{1}{g'(z_k)}$
Fred, an dieser Stelle gleich Frage 1: Dieses uneigentliche Integral = die Summe der Residuen der oberen Halbebene - zählt da die Achse dazu ?
Also liegt z_1 in der oberen Halbebene oder nicht ?
dann wäre einfach
$\integral_{0}^{\infty}\frac{1}{x^3 +1} = \frac{2 \pi i}{3} + \frac{2 \pi i}{3 exp(8 \pi i /3)$
zählen wir -1 nicht dazu
$\integral_{0}^{\infty}\frac{1}{x^3 +1} = \frac{2 \pi i}{3 exp(8 \pi i /3)$
beides liefert aber Schwachsinn und nicht \pi /8
EDIT: da das Integral nur über die halbe reelle Achse geht fehlt noch der Faktor \frac{1}{2} beim Ergebnis - falsches kommt dennoch raus.
Lg und Dank
PEter
|
|
|
| |
|
Bei der Anwendung des Residuensatzes braucht man neben einem Integranden eine geschlossene Kurve, über die integriert wird. Von dieser geschlossenen Kurve sprichst du nirgendwo. Also wendest du den Residuensatz gar nicht an.
Ich vermute, du wendest einen Satz an, der auf einer Anwendung des Residuensatzes basiert. Vermutlich ![[]](/images/popup.gif) diesen hier. Dieser Satz ist aber gar nicht anwendbar, wie schon die erste Zeile der Voraussetzung zeigt, denn auf der reellen Achse wird der Nenner 0.
Das Integral [mm]\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^3 + 1}[/mm] läßt sich folgendermaßen mit dem Residuensatz bestimmen.
Sei [mm]\omega = \operatorname{e}^{\frac{\pi \operatorname{i}}{3}}[/mm]. Das ist die Nullstelle von [mm]z^3 + 1[/mm] im I. Quadranten (Argument: 60°).
Für ein reelles [mm]R>1[/mm] nehmen wir den folgenden Integrationsweg [mm]\gamma_R[/mm]: Zunächst durchlaufen wir die Strecke von [mm]0[/mm] bis [mm]R[/mm] auf der reellen Achse, dann gehen wir auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn von [mm]R[/mm] bis [mm]R \omega^2[/mm] (Argument: 120°), dann auf einer Strecke von [mm]R \omega^2[/mm] nach [mm]0[/mm] zurück.
Das Integral [mm]\int_{\gamma_R} \frac{\mathrm{d} z}{z^3 + 1}[/mm] kann mit dem Residuensatz berechnet werden. Einzige Singularität im Innern des Integrationswegs ist [mm]\omega[/mm].
Andererseits kommt bei einer Parametrisierung des ersten und dritten Wegstücks das gesuchte reelle Integral ins Spiel, während des Integral über das zweite Wegstücke für [mm]R \to \infty[/mm] verschwindet.
Der grobe Weg ist skizziert. Die Ausführung der Einzelschritte bleibt dir überlassen.
EDIT: Bei der Beschreibung von [mm]\gamma_R[/mm] ist mir ein Versehen unterlaufen: Wir gehen natürlich nicht auf dem Einheitskreis, sondern auf dem Kreis um 0 vom Radius [mm]R[/mm] entlang.
|
|
|
| |
|
Wolfram Alpha sagt mir aber
[mm] $\integral_{0}^{\infty} [/mm] ... = [mm] \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo, auf Youtube gibt es drei Teile mit Erklärungen und Aufgaben zum Residuensatz/Residuenkalkül/Residuum, um reelle Integrale auszurechnen:
Teil 1: https://www.youtube.com/watch?v=yTuH77g60ek
Teil 2: https://www.youtube.com/watch?v=D37yhBSMJnM
Teil 3: https://www.youtube.com/watch?v=VN0ac1svSIg
|
|
|
|
