Aufgabe zur Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 So 11.12.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
habe ein großes Problem mit folgender Aufgabe:
Sei f : R [mm] \to [/mm] R stetig und es gelte f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y [mm] \varepsilon [/mm] R.
Dann gilt f(x) = ax mit a = f(1).
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht liegen.
Leider habe ich keinen Ansatz gefunden und der Hinweis hat mich eher verwirrt als mir geholfen!
Bin über jede Antwort erfreut.
MFG
Kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zeige zunächst mit vollständiger Induktion für natürliche $n$ und $m$
$f(n) = n [mm] \cdot [/mm] f(1)$,
[mm] $f\left( \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \cdot [/mm] f(1)$,
[mm] $f\left( \frac{m}{n} \right) [/mm] = [mm] \frac{m}{n} \cdot [/mm] f(1)$,
also:
$f(q) = q [mm] \cdot [/mm] f(1)$ für alle $q [mm] \in \IQ$.
[/mm]
Jetzt kannst du die Stetigkeit von $f$ und die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ausnutzen...
Liebe Grüße
Julius
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