Aufgabe zur Gruppe bei SL < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] SL_{n}(\IR) [/mm] := { M [mm] \in GL_{n}(\IR) [/mm] | det M = 1} ist mit dem MAtrizenprodukt eine Gruppe. |
Hallo,
Ich weiß, dass die SL-Gruppe die Untergruppe der invertierbaren Matrizen ist, wo alle Determinaten gleich 1 sind.
Aber ich weiß bei der Aufgabe nicht, wie ich die Eigenschaften der Gruppe auf diese SL-Gruppe anwenden soll, es ist mir ja nichts konkretes gegeben, um die Assoz., Ex. eines neutralen und inversen Elementes zeigen zu können.
Kann mir da jemand helfen?
Meine Idee ist, dass wenn det M = 1 ist, dann müssenja auf der Diagonalen Einträge stehen, deren Produkt 1 ergibt.
Danke,
Milka
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> Zu zeigen:
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> [mm] SL_{n}(\IR) [/mm] := [mm] \{ M \in GL_{n}(\IR) | det M = 1\} [/mm] ist mit dem
> MAtrizenprodukt eine Gruppe.
> Ich weiß, dass die SL-Gruppe die Untergruppe der
> invertierbaren Matrizen ist, wo alle Determinaten gleich 1
> sind.
> Aber ich weiß bei der Aufgabe nicht, wie ich die
> Eigenschaften der Gruppe auf diese SL-Gruppe anwenden soll,
> es ist mir ja nichts konkretes gegeben,
Hallo,
auch wenn Dir "nichts Konkretes gegeben" ist - mit Matrizen müßtest Du Dich ja inzwischen recht gut auskennen.
Die Verknüpfung ist hier die "normale" Matrizenmultiplikation.
Um nachzuweisen, daß Deine Menge [mm] SL_{n}(\IR) [/mm] mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Sicher wurde in der Linearen Algebra bereits gesagt, daß [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe bildet mit neutralem Element. Oder Du weißt es so. (Die Verknüpfung ist eine innere, ist assoziativ, die Einheitsmatrix das neutrale Element.)
Hattet Ihr folgenden Satz?
Sei (H,*) eine Halbgruppe mit neutralem Element. Die Menge der invertierbaren Elemente aus (H,*) bildet mit * eine Gruppe.
So wärest Du sehr schnell fertig: die Elemente von [mm] SL_{n} [/mm] sind ja gerade die invertierbaren aus [mm] GL_{n}(\IR).
[/mm]
2. "Zu Fuß", indem die ganzen Gruppeneigenschaften nachgewiesen werden, wie Du zu planen scheinst.
>um die Assoz., Ex.
> eines neutralen und inversen Elementes zeigen zu können.
> Kann mir da jemand helfen?
Du kannst Dich natürlich Deiner Kenntnisse über [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] bedienen.
Bei der Assoziativität z.B. weißt Du, daß * in [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] assoziativ ist.
Du mußt nur zuvor glaubhaft versichern können, daß * eine innere Verknüpfung in [mm] SL_{n} [/mm] ist.
Neutrales Element? Kennst Du doch! Die Einheitsmatrix [mm] E_n. [/mm] Mußt nur zeigen, daß die auch in [mm] SL_{n} [/mm] ist.
Inverse Elemente? Hast du doch schon gesagt! Wenn die det=1 ist, ist die Matrix invertierbar. Ist das Inverse in [mm] SL_{n}?
[/mm]
In der Hoffnung, Dich auf den Weg gebracht zu haben
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe nun versucht, die 2. Methode anzuwenden, da wir den Begriff der HAlbgruppe nicht behandelt haben.
Neutrales Element:
Ist die Einheitsmatrix mit n Einsern auf der Diagonalen, diese hat ja det = 1.
Inverses Element:
NAch Vor. ist det M = 1. Also ist M invertierbar in [mm] (SL_{n}(\IR), [/mm] *).
Wir wissen, dass folg. gilt: [mm] M^{-1}= \bruch{1}{det M} [/mm] Kompl(M) , wobei Kompl(M) die komplementäre MAtrix von M ist, also [mm] \in SL_{n}(\IR) [/mm] liegt. Also liegt folglich [mm] M^{-1} [/mm] auch in SL. Fertig. Stimmt das so? :)
Bei der Assoziativität hab ich ein Problem. Ich will das in der Form (AB) C = A(BC) machen, aber wie gebe ich die A,B,C genau an?
Danke!
Milka
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> Ich habe nun
> versucht, die 2. Methode anzuwenden
Da mußt Du als allererstes zeigen, daß [mm] SL_{n} [/mm] nichtleer ist, und daß * eine innere Verknupfung ist.
Ein Element, welches drin liegt, wirst Du sicher finden... Am besten, Du nimmst das ganz wichtige...
Warum liegt mit A und B auch AB in Deiner Menge?
Nun, AB ist eine nxn-Matrix, das brauchst Du nur zu erwähnen, aber nicht zu zeigen. Um in $ [mm] SL_{n} [/mm] zu liegen, muß die det=1 sein. Ist sie's?
> Neutrales Element:
> Ist die Einheitsmatrix mit n Einsern auf der Diagonalen,
> diese hat ja det = 1.
Genau, die [mm] E_n [/mm] liegt aus den von Dir erwähnten Gründen in $ [mm] SL_{n}, [/mm] und es ist für alle A : [mm] AE_n=E_nA=A.
[/mm]
>
> Inverses Element:
> NAch Vor. ist det M = 1. Also ist M invertierbar in
> [mm](SL_{n}(\IR),[/mm] *).
Da stimmt zwar, muß aber erst gezeigt werden.
Zunächst wissen wir, daß es eine Matrix [mm] A^{-1} [/mm] aus [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] gibt mit [mm] E_n=AA^{-1}. [/mm] Um zu wissen, ob [mm] A^{-1} [/mm] in [mm] SL_{n}(\IR) [/mm] liegt, müssen wir die det kennen.
[mm] E_n=AA^{-1} [/mm] ==> 1= [mm] detE_n=det(AA^{-1})= [/mm] ... ==> [mm] det(A^{-1})=...
[/mm]
> Bei der Assoziativität hab ich ein Problem. Ich will das in
> der Form (AB) C = A(BC) machen, aber wie gebe ich die A,B,C
> genau an?
Du weißt doch schon lange, daß die Matrizenmultiplikation in [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] assoziativ ist, und genau um diese Multiplikation handelt es sich doch hier, bloß daß Du nur eine Teilmenge von [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] betrachtest.
Was in [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] gleich ist, bleibt in [mm] SL_{n} [/mm] gleich.
Du brauchst nur zu schreiben: da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, gilt für A,B,C [mm] \in SL_{n} [/mm] ...
Gruß v. Angela
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