Aufgabe zum metrischen Raum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hiho! und zwar habe ich folgende Aufgabe bekommen:
Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Wie gelangen wir zu einem vollständigen Raum ? Auf der Menge M := {x | x = ( [mm] x_{n})n \in [/mm] N Cauchy-Folge in X bezüglich d} betrachten wir die
Äquivalenzrelation
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] d ( [mm] x_{n}, y_{n}) [/mm] = 0.
Bezüglich dieser Äquivalenzrelation bilden wir den Faktor-Raum X := (M/ , [mm] d_{X} [/mm] ) mit
der Metrik
d X (x, y) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] d ( [mm] x_{n}, y_{n}).
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] wirklich eine Äquivalenzrelation auf M ist.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] d_{X} [/mm] auf X wirklich eine Metrik (d.h. insbesondere wohldefiniert) ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Raum X einer Vervollständigung von X entspricht.
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich hier rangehen soll. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
M.f.G. Adelskrone
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Also, mal ganz grob einige Hinweise.
Aufgabe a) ist hoffentlich kein Problem: nachzuweisen ist, dass es sich bei der angegebenen Relation um eine Äquivalenzrelation handelt, also Reflexivität (Klar), Symmetrie (auch klar) und Transitivität (das einzige, wo man etwas genauer hinsehen muß).
Bei b) mußt Du zunächst nachweisen, dass die Definition unabhängig von der Wahl der Vertreter ist: falls $x [mm] \sim [/mm] x'$ und $y [mm] \sim [/mm] y'$ äquivalente Cauchy-Folgen sind, mußt Du zeigen, dass gilt [mm] $d_X(x,y) [/mm] = [mm] d_X(x',y')$.
[/mm]
Dann mußt Du noch nachweisen, dass [mm] $d_X$ [/mm] eine Metrik ist, also dass die Abbildung positiv ist (das ist klar), dass [mm] $d_X(x,y) [/mm] = 0 [mm] \iff [/mm] x = y$ (hier etwas aufpassen, da $x$ und $y$ Äquivalenzklassen sind!), Symmetrie (Klar) und Dreiecksungleichung.
c) schließlich ist der interessanteste Teil. Du sollst zeigen, dass der neue Raum vollständig ist. Dazu mußt Du eine Cauchy-Folge im neuen Raum (wieso heißt der eigentlich auch $X$?) betrachten, also eine Cauchy-Folge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen und zeigen, dass diese einen Grenzwert hat - das ist im Wesentlichen ein Diagonalfolgen-Argument.
Diese Konstruktion heißt allgemein "Vervollständigung metrischer Räume" - man kann nämlich noch mehr zeigen: wird der ursprüngliche Raum mit Hilfe von konstanten Folgen in diese Vervollständigung eingebettet, so kann man zeigen, dass er dicht darin liegt und dass die Vervollständigung durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
Viel Erfolg!
Lars
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Zuerst mal vielen Dank.
a) ist ja klar.
Könntest du mir bei b) einen Ansatz für die Dreiecksungleichung geben? Habe da nicht so recht eine Idee. nun zu c) Habe mich zuerst einmal vertippt, sorry. Und zwar nenne ich den Faktorraum jetzt Y und er ist auch ein wenig anders definiert: Y:=(M/ [mm] \sim [/mm] , [mm] d_{Y}). [/mm] Meine Frage ist nun, wie genau ich mir erstmal M vorstellen soll. M müsste ja eigentlich schon vollständig sein, weil enthält ja alle Cauchy Folgen(sind ja konvergent). Es würde ja wenig sinn machen diese jetzt mit äquivalenten Folgen zu vervollständigen, weil die liegen ja schon drin, oder seh ich da was falsch??
Ciao und vielen Dank im Voraus
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Hallo!
Zu c)
Vergiss nicht, dass die Elemente von $Y$ Folgen sind! D.h., du musst Cauchy-Folgen von Folgen betrachten!
Zu b)
Die Dreiecksungleichung zeigt man mittels
[mm] $d_X(x+y,z)=\limes_{n\to\infty}d(x_n+y_n,z_n)\le \limes_{n\to\infty}\big(d(x_n,z_n)+d(y_n,z_n)\big)$...
[/mm]
$M$ ist die Menge aller Cauchy-Folgen von Elementen aus $X$. Diese sind deshalb aber noch nicht konvergent, da $X$ ja nicht vollständig sein muss!
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Adelskrone |
Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen!
ciaoi
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