Aufgabe zum Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Bin mal wieder mit meinem Stochastik-Blatt total überfordert!
Hänge aber diesmal "nur" an einer Aufgabe:
Mit einem Freund spielt man folg. Glücksspiel über mehrere Runden:
Man beginnt mit dem Startkapital von 1 .
Wenn vor der n-ten Runde das Kapital [mm] X_{n-1} [/mm] beträgt,
dann erh. man in der der n-ten Runde nach dem Wurf einer fairen Münze [mm] \bruch{2}{3}X_{n-1} [/mm] hinzu,
falls "Kopf" erscheint.
Andernfalls verliert man [mm] \bruch{1}{2}X_{n-1}.
[/mm]
a) Berechne [mm] E(X_{n}) [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und zeige: [mm] E(X_{n}) \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
b) Zeige, dass für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] P(X_{n} [/mm] > [mm] \epsilon) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Als Hinweis wurde uns gesagt, dass man folg. Verwenden soll:
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] X_{n}=Y_{1}...Y_{n}, [/mm] wobie
[mm] Y_{i}:=\begin{cases} \bruch {5}{3}, & \mbox{falls in der i-ten Runde Kopf fällt} \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{falls in der i-ten Runde Zahl fällt} \end{cases}.
[/mm]
Man soll das "schwache Gesetz der großen Zahlen" auf [mm] Z_{i}:=log(Y_{i}) [/mm] anwenden.
Kann mir jemand weiterhelfen!
Wäre echt total lieb!
GuK
Karin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Karin!
> Mit einem Freund spielt man folg. Glücksspiel über mehrere
> Runden:
> Man beginnt mit dem Startkapital von 1 .
> Wenn vor der n-ten Runde das Kapital [mm]X_{n-1}[/mm] beträgt,
>
> dann erh. man in der der n-ten Runde nach dem Wurf einer
> fairen Münze [mm]\bruch{2}{3}X_{n-1}[/mm] hinzu,
> falls "Kopf" erscheint.
> Andernfalls verliert man [mm]\bruch{1}{2}X_{n-1}.[/mm]
>
> a) Berechne [mm]E(X_{n})[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] und zeige: [mm]E(X_{n}) \to \infty[/mm]
> für n [mm]\to \infty.[/mm]
Na, der Hinweis ist doch schon prima. Wegen der Unabhängigkeit der [mm] $Y_i$ [/mm] (sollte man annehmen dürfen bei Münzwürfen) gilt
[mm]E(X_n)=E(Y_1\cdot\ldots\cdot Y_n)=E(Y_1)\cdot\ldots\cdot E(Y_n)=E(Y_1)^n.[/mm]
Weißt Du, wie man [mm] $E(Y_1)$ [/mm] berechnet? Dann bist Du doch fertig, oder?
> b) Zeige, dass für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 gilt: [mm]P(X_{n}[/mm] >
> [mm]\epsilon) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.
[/mm]
>
> Als Hinweis wurde uns gesagt, dass man folg. Verwenden
> soll:
>
> Für n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]X_{n}=Y_{1}...Y_{n},[/mm] wobie
>
> [mm]Y_{i}:=\begin{cases} \bruch {5}{3}, & \mbox{falls in der i-ten Runde Kopf fällt} \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{falls in der > > i-ten Runde Zahl fällt} \end{cases}.[/mm]
> Man soll das "schwache Gesetz der großen Zahlen" auf
> [mm]Z_{i}:=log(Y_{i})[/mm] anwenden.
Das schwache Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass für alle [mm] $\tilde\epsilon>0$ [/mm] gilt:
[mm]\lim\limits_{n\to\infty} P(|\overline{Z}_n-E(Z_1)|>\tilde\epsilon)=0,[/mm]
wobei [mm] $\overline{Z}_n$ [/mm] das arithmetische Mittel von [mm] $Z_1$ [/mm] bis [mm] $Z_n$ [/mm] bezeichnet. Den Erwartungswert von [mm] $Z_1$ [/mm] berechnest Du am besten selbst. Ich nenne ihn mal $K$. Für [mm] $\overline{Z}_n$ [/mm] gilt:
[mm] \overline{Z}_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \log(Y_i)= \frac{1}{n}\log\left(\prod\limits_{i=1}^n Y_i \right)=
\frac{1}{n}\log(X_n).[/mm]
Damit weiß man also
[mm]\lim\limits_{n\to\infty} P(\Big|\frac{1}{n}\log(X_n)-K\Big|>\tilde\epsilon)=0.[/mm]
Jetzt musst Du nur noch überlegen, was passiert, wenn man den Betrag weglässt, und die Ungleichung innerhalb der Wahrscheinlichkeit nach [mm] $X_n$ [/mm] umformen, um den Zusammenhang zwischen [mm] $\epsilon$ [/mm] (aus der Aufgabenstellung) und [mm] $\tilde\epsilon$ [/mm] zu erkennen.
Hoffe, Du hast ein paar Anregungen bekommen. Wenn Du nicht weiterkommst, melde Dich.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
