Aufgabe zum Beweis zu kommutativem Ring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine Aufgabe bekommen bei der ich beweisen soll, das auf der Menge F={f l f: [/mm] [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] [/mm]}von reellwertigen Funktionen zwei Verknüpfungen feniert werden durch:
[/mm] Für alle [mm] r\in\IR [/mm] : (f+g)(r):= f(r) + g(r) [/mm]
[/mm] Für alle [mm] r\in\IR [/mm] : (f*g)(r):= f(r) * g(r) [/mm]
1. Ist (F,+,*) ein kommutativer Ring?
2. Ist (F, +,*) ein Körper?
Ich weiss nich z wie ich die Aufgabe bearteiten soll, das die Vorraussetzungen oben doch nur für einen Homomorphismus sind.
Würde mich über Hilfen ganz doll freuen, bin halt noch nen Ersti :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
willkommen im MatheRaum! 
> Ich habe eine Aufgabe bekommen bei der ich beweisen soll,
> das auf der Menge F={f l f:[/mm] [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] [/mm]}von reellwertigen
> Funktionen zwei Verknüpfungen feniert werden durch:
>
> [/mm] Für alle [mm] r\in\IR [/mm] : (f+g)(r):= f(r) + g(r) [/mm]
> [/mm] Für alle [mm] r\in\IR [/mm] : (f*g)(r):= f(r) * g(r) [/mm]
>
> 1. Ist (F,+,*) ein kommutativer Ring?
> 2. Ist (F, +,*) ein Körper?
>
> Ich weiss nich z wie ich die Aufgabe bearteiten soll, das
> die Vorraussetzungen oben doch nur für einen Homomorphismus
> sind.
Nein, da vertust du dich. Die Bedingungen eines Homomorphismus beziehen sich ja auf die Argumente einer Funktionen, nicht auf zwei Funktionen. Die Bedingungen oben sind tatsächlich die Definition zweier Verknüpfungen auf der Menge der reellwertigen Funktionen.
Schreibe uns doch mal für den ersten Aufgabenteil, welche Bedinungen eine Menge mit zwei Verknüfungen erfüllen muss, damit sie ein kommutativer Ring ist (ich meine die "Ringaxiome").
Welches Axiom muss zusätzlich gelten, damit es ein Körper wird?
Wenn du magst, kannst du ja dann auch gleichzeitig versuchen, die Axiome für die obige Menge zu überprüfen. Wenn du damit nicht weiterkommst, helfen wir dir gerne weiter. Aber erst die Axiome raussuchen und uns schreiben
Bis später,
Marc
PS.: Formeln werden bei uns mit [mm] eingeleitet, nicht mit [/mm]. Abgeschlossen werden sie dann mit [/mm].
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Also die Axiome hatte ich mir schon herausgesucht:
R1) (F,+) muss kommutative Gruppe sein
R2) (F,*) muss assoziativ und kommutativ sein
R3) die zwei Distributivgesetze
a) f,g,h [mm] \in F [/mm]
f(g+h)=fg + fh
b) (f+g)h=fh + gh
Für den Körper muss dann gelten
für (F,*) auch ein neutrales Element haben und für jede f [mm] \in [/mm] [mm] F\0 [/mm] ein inverses gegeben sein.
---------------------------------------------------------------------
R1)
z.z. (F,+) Gruppe
G1) + innere Verknüpfung ( Abgeschlossenheit)
wenn f,g [mm] \in F [/mm], dann auch (f+g) [mm] \in F [/mm]
(f+g) [mm] \in \IR [/mm] da auch f,g [mm] \in \IR [/mm]
G2) Assoziativgesetz:
((f+g)+h) (x)= (f+g)(x) + h(x)= f(x)+ g(x) + h(x)=
f(x)+ (g+h) (x)= (f+(g+h)) (x)
G3) Neutrales Element:
z.z.: f+e=e=e+f
neutrales Element von f ist die Konstante Funktion f(x)=0=:e
G4) Inverses Element:
f + (-f) = e -f ist das inverse Element -f ist definiert durch
-f:[mm] \IR [/mm]->[mm] \IR [/mm]
x->-f(x)
G5) Kommutativität:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) ...da kommutativität in der normalen
Addition gilt: =g(x)+f(x)=(g+f) (x)
R2)
z.z. (F,*) assoziativ u. kommutativ
a) assoziativ:
f,g,h [mm] \in F [/mm]
((f*g)*h)(x)=(f*g)(x) * h(x)= f(x)*g(x)*h(x)=f(x)*(g*h)(x)=
(f*(g*h))(x)
b) kommutativ:
f,g [mm] \in F [/mm]
( f*g)(x)=f(x)*g(x) .... da normale Multiplikation gilt hier
kommutativgesetz =g(x)*f(x)=(g*f)(x)
R3) Distributivgesetze:
f,g,h [mm] \in F [/mm]
1. ( f*(g+h))(x)=f(x) *( (g+h)(x))= f(x)*(g(x)+h(x))=
(f(x)*g(x))+(f(x)*h(x))=(f*g)(x)+(f*h)(x)
2. ((f+g)*h)(x)= ((f+g)(x))*h(x)=(f(x)*h(x))+(g(x)*(h(x))=
(f*g)(x)+(g*h)(x)
---------------------------------------------
a) neutrales Element (F,*):
f*1=f=1*f die konstante Funktion f(x)=1 ist neutrales
Element von(F,*)
b) inverses Element (F,*):
es gibt kein solchen inverses Element, für das gilt: f*f^-1=0
Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=(-1)^x
[/mm]
für x=0 ist die Gleichung: f*f^-1=0 nicht lösbar
(fand ich schwer eingebenbeispiel zu finden und
bin mir jetzt noch nicht sicher.)
da dies nicht der Fall ist gilt das Axiom nicht und (F,+,*) ist kein Körper sondern nur ein kom. Ring, oder?
Danke fürs Lob :) kann man mal gut gebrauchen da ich derzeit das Gefühl habe in Mathe die totale Null zu sein und das wo in 3 Wochen die Klausur droht. Vielen Dank für die Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
> Also die Axiome hatte ich mir schon herausgesucht:
> R1) (F,+) muss kommutative Gruppe sein
> R2) (F,*) muss assoziativ und kommutativ sein
> R3) die zwei Distributivgesetze
> a) f,g,h [mm]\in F[/mm]
> f(g+h)=fg + fh
> b) (f+g)h=fh + gh
>
> Für den Körper muss dann gelten
> für (F,*) auch ein neutrales Element haben und für jede f
> [mm]\in[/mm] [mm] F\0 [/mm] ein inverses gegeben sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ---------------------------------------------------------------------
> R1)
>
> z.z. (F,+) Gruppe
> G1) + innere Verknüpfung ( Abgeschlossenheit)
> wenn f,g [mm]\in F [/mm], dann auch (f+g) [mm]\in F[/mm]
> ->
> gilt laut Defintion oder weil (f+g):=f(r) + g(r)
Die Begründung ist eher, dass die (so definierte) Summe zweier Funktionen aus F wieder eine Funktion [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] ist und damit in F liegt.
> G2) Assoziativgesetz:
> ((f+g)+h) (x)= (f+g)(x) + h(x)= f(x)+ g(x) +
> h(x)=
> f(x)+ (g+h) (x)= (f+(g+h))
> (x)
> G3) Neutrales Element:
> z.z.: f+e=e=e+f gilt für id(x)=x für alle x [mm]\in F [/mm],
> so gilt:
> f + id = f = id + f -> id ist neutrales Element.
Das sehe ich nicht so.
Es gibt zwar ein neutrales Element, aber es ist nicht die Identität id, sondern...?
> G4) Inverses Element:
> f + (-f) = id -f ist das inverse Element
Das inverse Element ist richtig, aber was verstehst du unter "-f"? Um formal korrekt zu sein, müßtest du natürlich noch definieren, was du unter (-f) verstehst.
Man könnte es so definieren:
$-f: [mm] \IR\to\IR$
[/mm]
[mm] $x\mapsto [/mm] -f(x)$
Das sieht zwar auf den ersten Blick trivial aus, man muss sich dass aber mindestens einmal im Leben klar gemacht haben
Es fehlt noch die Überprüfung des Kommutativgesetzes.
Im wesentlichen können also die Gruppeneigenschaften von (F,+) auf die Gruppeneigenschaften von [mm] $(\IR,+)$ [/mm] zurückgeführt werden (das müßte dir auch einen Hinweis auf das neutrale Element geben...  )
> R2)
>
> z.z. (F,*) assoziativ u. kommutativ
>
> a) assoziativ:
> f,g,h [mm]\in F[/mm]
> ((f*g)*h)(x)=(f*g)(x) *
> h(x)= f(x)*g(x)*h(x)=f(x)*(g*h)(x)=
> (f*(g*h))(x)
> b) kommutativ:
> f,g [mm]\in F[/mm]
> ( f*g)(x)=f(x)*g(x) .... da
> normale Multiplikation gilt hier
> kommutativgesetz =g(x)*f(x)=(g*f)(x)
>
> R3) Distributivgesetze:
> f,g,h [mm]\in F[/mm]
> 1. ( f*(g+h))(x)=f(x) *(
> (g+h)(x))= f(x)*(g(x)+h(x))=
>
> (f(x)*g(x))+(f(x)*h(x))=(f*g)(x)+(f*h)(x)
> 2. ((f+g)*h)(x)=
> ((f+g)(x))*h(x)=(f(x)*h(x))+(g(x)*(h(x))=
> (f*g)(x)+(g*h)(x)
> ---------------------------------------------
>
> a) neutrales Element (F,*):
> f*1=f=1*f 1 ist neutrales Element zu (F,*)
Okay, aber wie ist "1" definiert? 1 müßte ja eine Funktion sein...
> b) inverses Element (F,*):
> es gäbe nur dann ein inverses element für alle f[mm] \in F[/mm]
>
> wenn F die menge aller bijektiven reellwertigen
> Funktionen
> wäre.
, da behauptest du für die Aufgabenstellung aber zu viel (obwohl es richtig ist), und als Beweis reicht es trotzdem nicht.
Hier wäre einfach ein Gegenbeispiel einer Funktion ausreichend, die kein multiplikatives Inverses besitzt.
> da dies nicht der Fall ist gilt das Axiom nicht und
> (F,+,*) ist kein Körper sondern nur ein kom. Raing, oder?
Ich bin beeindruckt von deiner Lösung (trotz der kleinen Fehlerchen oben, die zu beheben aber kein Problem für dich darstellen wird).
Beeindruckt bn ich deshalb, weil ich eine solche Lösung nach deiner ursprünglichen Frage nicht erwartet hätte
Wenn du magst, kann du ja noch die fehlenden Lücken ausfüllen und dich wieder melden.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
habe gerade gesehen, dass du deine ursprüngliche Frage ergänzt/bearbeitet hast.
Das ist etwas unglücklich, da es jetzt wirklich nur Zufall war, dass ich die Änderungen mitbekommen habe. Ausserdem erschwert es im Nachhinein, unseren Dialog weiterzuverfolgen.
Vorschlag (für's nächste Mal): Auf Bearbeiten klicken und den Text aus dem EIngabefenster herauskopieren und in eine neue Frage (in demselben Diskussionsstrang) einfügen).
> G3) Neutrales Element:
> z.z.: f+e=e=e+f
> neutrales Element von f ist die Konstante Funktion
> f(x)=0=:e
> G4) Inverses Element:
> f + (-f) = e -f ist das inverse Element -f ist
> definiert durch
> -f:[mm] \IR [/mm]->[mm] \IR[/mm]
> x->-f(x)
>
> z.z. (F,*) assoziativ u. kommutativ
>
> a) assoziativ:
> f,g,h [mm]\in F[/mm]
> ((f*g)*h)(x)=(f*g)(x) *
> h(x)= f(x)*g(x)*h(x)=f(x)*(g*h)(x)=
> (f*(g*h))(x)
> b) kommutativ:
> f,g [mm]\in F[/mm]
> ( f*g)(x)=f(x)*g(x) .... da
> normale Multiplikation gilt hier
> kommutativgesetz =g(x)*f(x)=(g*f)(x)
>
> R3) Distributivgesetze:
> f,g,h [mm]\in F[/mm]
> 1. ( f*(g+h))(x)=f(x) *(
> (g+h)(x))= f(x)*(g(x)+h(x))=
>
> (f(x)*g(x))+(f(x)*h(x))=(f*g)(x)+(f*h)(x)
> 2. ((f+g)*h)(x)=
> ((f+g)(x))*h(x)=(f(x)*h(x))+(g(x)*(h(x))=
> (f*g)(x)+(g*h)(x)
> ---------------------------------------------
>
> a) neutrales Element (F,*):
> f*1=f=1*f die konstante Funktion f(x)=1 ist
> neutrales
> Element von(F,*)
> b) inverses Element (F,*):
> es gibt kein solchen inverses Element, für das
> gilt: f*f^-1=0
Die Sprechweise ist etwas unglücklich. Es gibt ja nicht "das inverse Element" (wie beim neutralen Element), sondern es soll für jedes Element ein inverses Element geben.
Im Zahlkörper [mm] \IR [/mm] ist z.B. das inverse Element zu 2 das Element [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] zu 3 ist das inverse das Element [mm] \bruch{1}{3} [/mm] etc.
Außerdem muß in der Gleichung wenn überhaupt [mm] $f*f^{-1}=\red{1}$ [/mm] stehen, also das inverse Element der Multiplikation.
Du könntest also besser so formulieren:
Es gilt nicht: Für alle Element [mm] $f\in [/mm] F$ gibt es ein Element [mm] $\f^{-1}\in [/mm] F$, so dass [mm] $f*f^{-1}=1$ [/mm] gilt.
Das heißt, es gibt ein Element [mm] $f\in [/mm] F$, für dass sicher kein Element [mm] $g\in [/mm] F$ exisitiert mit $f*g=1$.
> Gegenbeispiel:
> [mm] f(x)=(-1)^x
[/mm]
Das Gegenbeispiel ist schlecht, da [mm] $f\not\in [/mm] F$
Was ist zum Beispiel $(-1)^(-1)$?
Oder meintest du [mm] $f(x)=x^{-1}$? [/mm] Das liegt aber auch nicht in F, da f an der Stelle 0 nicht definiert ist und es somit keine Funktion [mm] $\red{\IR}\to\IR$ [/mm] ist.
Als Gegenbeispiel könntest du zum Beispiel (irgendeine) eine Funktion nehmen, die Nullstellen hat, nehmen wir doch einfach
f(x)=x
Ich behaupte jetzt, dass es keine Funktion [mm] $g\in [/mm] F$ gibt mit $f*g=1$.
Angenommen, es gäbe eine solche Funktion, dann gilt ja $f(x)*g(x)=1(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ("1" ist ja hier die konstante Funktion 1).
An der Stelle x=0 ergibt sich aber:
$f(0)*g(x)=1(0)$
[mm] $\gdw\ [/mm] 0*g(0)=1$
[mm] $\gdw\ [/mm] 0=1$
also ein Widerspruch.
> da dies nicht der Fall ist gilt das Axiom nicht und (F,+,*)
> ist kein Körper sondern nur ein kom. Ring, oder?
>
> Danke fürs Lob :) kann man mal gut gebrauchen da ich
> derzeit das Gefühl habe in Mathe die totale Null zu sein
> und das wo in 3 Wochen die Klausur droht. Vielen Dank für
> die Hilfe!!!
Im Hinblick auf die Klausur sehen deine Ausführungen aber gar nicht so schlecht aus, dass ist sicher innerhalb von drei Wochen machbar für dich. Und währenddessen hast du ja uns
Viele Grüße,
Marc
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Hallöchen nochmal!
:) ist mirjetzt schon fast peinlich aber die Aufgabe geht noch weiter.
Habe allerdings scgon mal alleine versucht weiterzumachen.
Ist jetzt also auch zum sichergehen.
Jetzt ist die Frage ob A:= [mm] \left\{ f \in F | f(3)=0 \right\} [/mm]ein Unterring ist.
UR1) A[mm] \ne \emptyset [/mm]
wahr, da f(3)=0 [mm] \in [/mm]F
UR2) Abgeschlossenheit (F,+)
f,g[mm] \in [/mm]F => (f+g)[mm] \in [/mm]F
(f+g)(x)=f(x)+g(x) Begründung wie oben: da f,g
aus IR und somit F ist auch die Summe der
Funktionen in IR also F.
und für x=3 gilt:
f(3)+g(3)=0+0=0 [mm] \in [/mm]F
UR3) Neutrales Element für (F,+)
-> e=konstante Funktion mit f(x)=o=:e für alle
x[mm] \in \IR [/mm] F da für diese Funktion
auch f(3)=0 gilt.
UR4) Inverses Element:
-> gibt es ein Element mit f+(-f)=e=0 für alle
f [mm] \in [/mm]F ? Ja da siehe 1. Frage
-f:[mm] \IR -> \IR [/mm]
----- wie ich das mit der zweiten Bedingen mache
ist mir allerdings nicht 100% klar.
UR5) Abgeschlossenheit (F,*)
f,g[mm] \in [/mm]F => (f*g)[mm] \in [/mm]F
(f*g)(x)= f(x)*g(x)
Begründung wie oben: da f,g
aus IR und somit F ist auch das Produkt der
Funktionen in IR also F.
und für x=3 gilt:
f(3)*f(3)= 0*0=0 => ist abgeschlossen.
Demnach wäre A ein Unterring, hängt also vom Inversen ab
...mal wieder :(. Sorry noch mal für die Fragerei! Hoffe ich kann
auch mal helfen, fürchte nur dass ich nicht so die Leuchte bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
> :) ist mirjetzt schon fast peinlich aber die Aufgabe geht
> noch weiter.
Ist doch super! Warum so unsicher?
> Habe allerdings scgon mal alleine versucht
> weiterzumachen.
> Ist jetzt also auch zum sichergehen.
>
> Jetzt ist die Frage ob A:= [mm]\left\{ f \in F | f(3)=0 \right\} [/mm]ein
> Unterring ist.
>
>
> UR1) A[mm] \ne \emptyset[/mm]
> wahr, da f(3)=0 [mm]\in [/mm]F
Die Aussage von f(3)=0 [mm]\in [/mm]F müßtest du mir erklären.
Ich habe das Gefühl, dass du hier Äpfel mit Birnen verwechselst, dass du nämlich dachtest, dass 0 (also die Konstant-Null-Funktion) bei f(3)=0 gemeint ist.
Dem ist aber natürlich nicht so.
f(3) bedeutet ja: Der Funktionswert an der Stelle 3, und der ist [mm] 0\in\IR.
[/mm]
Ein Element, das in F enthalten ist, ist aber zum Beispiel die Funktion f(x):=x-3, denn f(3)=0, also [mm] $f\in [/mm] F$.
> UR2) Abgeschlossenheit (F,+)
> f,g[mm] \in [/mm]F => (f+g)[mm] \in [/mm]F
> (f+g)(x)=f(x)+g(x) Begründung wie oben: da f,g
> aus IR und somit F ist auch die Summe der
> Funktionen in IR also F.
> und für x=3 gilt:
> f(3)+g(3)=0+0=0 [mm]\in [/mm]F
Hier schon wieder dieselbe Verwechslung.
Schreibe besser:
Seien $f, g [mm] \in [/mm] F$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] f(3)=0$ und $g(3)=0$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] (f+g)(3)=f(3)+g(3)=0$
[mm] $\Rightarrow\ (f+g)\in [/mm] F$
> UR3) Neutrales Element für (F,+)
> -> e=konstante Funktion mit f(x)=o=:e für alle
>
> x[mm] \in \IR[/mm] F da für diese Funktion
> auch f(3)=0 gilt.
> UR4) Inverses Element:
> -> gibt es ein Element mit f+(-f)=e=0 für alle
>
> f [mm]\in [/mm]F ? Ja da siehe 1. Frage
> -f:[mm] \IR -> \IR[/mm]
> ----- wie ich das mit der
> zweiten Bedingen mache
> ist mir allerdings nicht 100% klar.
Welche zweite Bedinung denn?
Das inverse Element ist genauso definiert wie im "Überring".
> UR5) Abgeschlossenheit (F,*)
> f,g[mm] \in [/mm]F => (f*g)[mm] \in [/mm]F
> (f*g)(x)= f(x)*g(x)
> Begründung wie oben: da f,g
> aus IR und somit F ist auch das Produkt der
> Funktionen in IR also F.
> und für x=3 gilt:
> f(3)*f(3)= 0*0=0 => ist abgeschlossen.
Her meinst du [mm] $f(3)*\red{g}(3)=0$
[/mm]
> :(. Sorry noch mal für die Fragerei! Hoffe
> ich kann
> auch mal helfen, fürchte nur dass ich nicht so die Leuchte
> bin.
Mach' dir mal keinen Stress. In den Schulforen findet sich ausserdem immer was
Viele Grüße,
Marc
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