Aufgabe zu Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 20.12.2015 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | | Sei [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] eine basis eines Euklidischen Vektorraums V mit Skalarprodukt <,>. Beweisen Sie: Für jede Wahl von Skalaren [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] existiert ein eindeutig bestimmter Vekor w [mm] \in [/mm] V mit [mm] =r_{i} [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht so recht weiter. Einfach wäre die Sache ja, wenn meine Basis eine Orthonormalbasis [mm] U=(u_{1}...u_{n}) [/mm] wäre. Dann ist
[mm] z=\summe_{i=1}^{n} r_{i}*u_{i}
[/mm]
und [mm] =(u_{i})^{T}*r_{i}*u_{i}=r_{i}
[/mm]
Meine Idee war nun eine Abbildung f zu definieren, die die Basisvektoren meiner Orthonormalbasis U auf eine beliebige Basis [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] abbildet.
[mm] f(u_{i})=v_{i}
[/mm]
[mm] =
[/mm]
Könnte ich jetzt irgendwie zeigen, dass meine Abbildung orthogonal ist, wäre ich ja fertig. [mm] == [/mm] Nur wird sie das doch leider eher nicht sein, oder?
Außerdem hab ich noch keine Idee, wie ich die Eindeutigkeit von w schlussfolgern kann... aber das erschließt sich vielleicht auch erst, wenn man den ersten Teil gelöst hat...
Für nen Anschubser wäre ich dankbar :)
(Oder jemand der sagt, dass das so totaler Unsinn ist^^)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 20.12.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm](v_{1}...v_{n})[/mm] eine basis eines Euklidischen
> Vektorraums V mit Skalarprodukt <,>. Beweisen Sie: Für
> jede Wahl von Skalaren [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] existiert ein
> eindeutig bestimmter Vekor w [mm]\in[/mm] V mit [mm]=r_{i}[/mm] für
> alle [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht so recht
> weiter. Einfach wäre die Sache ja, wenn meine Basis eine
> Orthonormalbasis [mm]U=(u_{1}...u_{n})[/mm] wäre. Dann ist
>
> [mm]z=\summe_{i=1}^{n} r_{i}*u_{i}[/mm]
>
> und [mm]=(u_{i})^{T}*r_{i}*u_{i}=r_{i}[/mm]
>
> Meine Idee war nun eine Abbildung f zu definieren, die die
> Basisvektoren meiner Orthonormalbasis U auf eine beliebige
> Basis [mm](v_{1}...v_{n})[/mm] abbildet.
> [mm]f(u_{i})=v_{i}[/mm]
>
> [mm]=[/mm]
>
> Könnte ich jetzt irgendwie zeigen, dass meine Abbildung
> orthogonal ist, wäre ich ja fertig.
> [mm]==[/mm] Nur wird sie das doch
> leider eher nicht sein, oder?
Richtig, wenn die [mm] $v_{i}$ [/mm] keine ONB bilden, dann ist auch $f$ nicht orthogonal.
Vielleicht kannst Du etwas mit einer Abbildung [mm] $f:V\to \IR^{n}$, $w\mapsto ()_{i=1}^{n}$ [/mm] anfangen?
>
> Außerdem hab ich noch keine Idee, wie ich die
> Eindeutigkeit von w schlussfolgern kann... aber das
> erschließt sich vielleicht auch erst, wenn man den ersten
> Teil gelöst hat...
>
> Für nen Anschubser wäre ich dankbar :)
> (Oder jemand der sagt, dass das so totaler Unsinn ist^^)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 20.12.2015 | | Autor: | Stala |
Du hast die Abbildung f
$ [mm] f:V\to \IR^{n} [/mm] $, $ [mm] w\mapsto ()_{i=1}^{n} [/mm] $
als Abbildung zwischen zwei Vektorräumen dergleichen Dimension definiert. Die beiden Vektorräume sind also isomoprh. Und im Vektorraum [mm] \IR^{n} [/mm] kann man wie in der Aufgabenstellung genannt jede Wahl von Skalaren [mm] r_{1}...r_{n} [/mm] als Vektor darstellen. Wenn die Abbildung f nun bijektiv ist, kann jeder Wahl von Skalaren einen eindeutiger Vekor w zugeordnet werden, richtig?
Um die Bijektivität zu zeigen, genügt es ja zu beweisen dass Kern(f)=0 ist.
Also:
Angenommen es gibt einen Vektor w, sodass f(w)=0. Dann müsste gelten, dass
[mm] =0 [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. Das bedeutet, dass der Vektor w orthogonal zu allen Basisvektoren ist und somit von diesen linear unabhängig. Ein Widerspruch, da dann [mm] v_{1}...v_{n} [/mm] keine Basis wäre. Folglich ist Kern(f)=0, f also injektiv, damit auch surjektiv und damit bijektiv.
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Mo 21.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Du hast die Abbildung f
> [mm]f:V\to \IR^{n} [/mm], [mm]w\mapsto ()_{i=1}^{n}[/mm]
>
> als Abbildung zwischen zwei Vektorräumen dergleichen
> Dimension definiert. Die beiden Vektorräume sind also
> isomoprh.
Dazu ist noch zu zeigen, dass f linear und bijektiv ist.
> Und im Vektorraum [mm]\IR^{n}[/mm] kann man wie in der
> Aufgabenstellung genannt jede Wahl von Skalaren
> [mm]r_{1}...r_{n}[/mm] als Vektor darstellen. Wenn die Abbildung f
> nun bijektiv ist, kann jeder Wahl von Skalaren einen
> eindeutiger Vekor w zugeordnet werden, richtig?
Ja
>
> Um die Bijektivität zu zeigen, genügt es ja zu beweisen
> dass Kern(f)=0 ist.
Ja
>
> Also:
> Angenommen es gibt einen Vektor w, sodass f(w)=0. Dann
> müsste gelten, dass
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n. Das bedeutet, dass der
> Vektor w orthogonal zu allen Basisvektoren ist und somit
> von diesen linear unabhängig.
Das kannst Du nur sagen, wenn w [mm] \ne [/mm] 0 ist.
> Ein Widerspruch, da dann
> [mm]v_{1}...v_{n}[/mm] keine Basis wäre. Folglich ist Kern(f)=0, f
> also injektiv, damit auch surjektiv und damit bijektiv.
>
> Ist das richtig so?
Ja, im wesentlichen schon. Nimm also an: w [mm] \in [/mm] Kern(f) und w [mm] \ne [/mm] 0. Dann bekommst Du:
w, [mm] v_1, [/mm] ...., [mm] v_n [/mm] sind linear unabhängig,
also dimV >n, Widerspruch.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mo 21.12.2015 | | Autor: | hippias |
Hier noch eine Variante, die sich vielleicht eher Deiner ursprünglichen Idee gleicht. Betrachte die Hyperebenen [mm] $U_{i}:= \sum_{j\neq i} \IR v_{j}$. [/mm] Dann gibt es [mm] $w_{i}\in U_{i}^{\perp}$ [/mm] so, dass [mm] $=r_{i}$. [/mm] $w:= [mm] \sum_{i=1}^{n} w_{i}$ [/mm] liefert das gewünschte.
Anmerkung: Habe [mm] $v_{i}$ [/mm] zu [mm] $v_{j}$ [/mm] korrigiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 21.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch so: setze
$A := [mm] \begin{pmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_1, v_n \rangle \\ \vdots & & \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_n, v_n \rangle \end{pmatrix} [/mm] $
Dann ist $A$ symmetrisch und positiv definit, insbesondere ist $A$ invertierbar.
Seien nun $ [mm] (r_{1},...,r_{n})^T \in \IR^n [/mm] $.
Gesucht: $w [mm] \in [/mm] V$ mit
[mm] $\langle v_i, [/mm] w [mm] \rangle =r_i$ [/mm] für $i=1,...,n$.
Wenn es ein solches $w$ gibt, so gibt es eindeutig bestimmte $ [mm] x_{1},...,x_{n} \in \IR [/mm] $ mit
[mm] $w=\summe_{j=1}^{n}x_jv_j$.
[/mm]
Es folgt:
[mm] $r_i=\summe_{j=1}^{n}x_j$.
[/mm]
Setzt man [mm] $r=(r_1,...,r_n)^T$ [/mm] und [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T$, [/mm] so bedeutet dies: $x$ ist Lösung des LGS
$Ax=r$.
Das bedeutet: [mm] $x=A^{-1}r$.
[/mm]
FAZIT: ist [mm] $r=(r_1,...,r_n)^T$ [/mm] gegeben, so setze
[mm] $x=A^{-1}r$.
[/mm]
Sind dann [mm] x_1,...,x_n [/mm] die Komponenten von $x$, so leistet
[mm] $w:=\summe_{j=1}^{n}x_jv_j$
[/mm]
das Verlangte. Die Eindeutigkeit von $w$ bekommt man aus der Invertierbarkeit von $A$.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mo 21.12.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Großmeister Fred :)
Eine wirklich schöne Variante.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 21.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Hallo Thomas,
> Hallo Großmeister Fred :)
.... jetzt werde ich rot wie ein gekochter Hummer ....
>
> Eine wirklich schöne Variante.
Danke.
Gruß FRED
>
>
> Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 21.12.2015 | | Autor: | hippias |
Geht auch: [mm] $w\mapsto [/mm] <.,w>$ ist ein Isomorphismus zwischen $V$ und dem Dualraum. Und natuerlich gibt es ein lineares Funktional, das [mm] $v_{i}$ [/mm] auf [mm] $r_{i}$ [/mm] abbildet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mo 21.12.2015 | | Autor: | Stala |
Oh vielen Dank, nun habe ich ja gleich 4 LÖsungsmöglichkeiten ;)
Ich bleibe bei der ersten, das mit Linearität von f ist schnell gezeigt und [mm] w\not=0 [/mm] hatte ich mir auch überlegt, nur nicht aufgeschrieben.
Vielen Dank!
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