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Hallo Ihr, also ich bräuchte mal ne lösung zur folgenden Aufgabe:
Die abelsche Gruppe [mm] (\IZ,+) [/mm] der ganzen Zahlen wurde konstruiert. [mm] \IZ [/mm] wird nun wie folgt mit einer Multiplikation ausgesattet. Man setzt für alle x [mm] \in \IZ.
[/mm]
x*0 :=0
x*(y+1):=x*y + x [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IN [/mm] mit der 0
und
x*(-y):=-(x*y) [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ, [/mm] + ,*) ein kommutativer Ring ist, dessen neutrales Element bzgl. der Multiplikation die 1 ist. Zeigen Sie dazu, dass für beliebige x,y und z [mm] \in \IZ [/mm] die folgenden Aussagen gelten:
0*x=0
x*1 = x
1*x = x
(x+y)*z=xz + yz
(-x)y = -(xy)
xy = yx
x(y+z)=xy + xz
(xy)z = x(yz)
Wir haben schon Ansätze von anderen leuten gesehen, die das ganze über vollständige Induktion gemacht haben, aber x,y und z sind ja [mm] \in \IZ [/mm] deswegen kann man das ja nicht machen, oder? Wenn ja wo ist der Inudktionsanfang zu setzen? Wäre schön, wenn ihr ne Lösung hättet.
MfG Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:59 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> Die abelsche Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] der ganzen Zahlen wurde
> konstruiert. [mm]\IZ[/mm] wird nun wie folgt mit einer
> Multiplikation ausgesattet. Man setzt für alle x [mm]\in \IZ.
[/mm]
>
>
> x*0 :=0
> x*(y+1):=x*y + x [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IN[/mm] mit der 0
> und
> x*(-y):=-(x*y) [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IN.
[/mm]
Wohlgemerkt: [mm] $y\in\red{\IN}$, [/mm] s.u.
> Zeigen Sie, dass [mm](\IZ,[/mm] + ,*) ein kommutativer Ring ist,
> dessen neutrales Element bzgl. der Multiplikation die 1
> ist. Zeigen Sie dazu, dass für beliebige x,y und z [mm]\in \IZ[/mm]
> die folgenden Aussagen gelten:
>
> 0*x=0
> x*1 = x
> 1*x = x
> (x+y)*z=xz + yz
> (-x)y = -(xy)
> xy = yx
> x(y+z)=xy + xz
> (xy)z = x(yz)
>
> Wir haben schon Ansätze von anderen leuten gesehen, die das
> ganze über vollständige Induktion gemacht haben, aber x,y
> und z sind ja [mm]\in \IZ[/mm] deswegen kann man das ja nicht
> machen, oder? Wenn ja wo ist der Inudktionsanfang zu
> setzen? Wäre schön, wenn ihr ne Lösung hättet.
Du mußt dieselben Fallunterscheidungen machen, wie in der Definition.
Zum Beispiel für (x+y)*z=xz + yz:
Per vollständiger Induktion zeigst du nun die Gleichheit für [mm] $z\in\IN_0$
[/mm]
I.A.: $z=0$ ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
I.V.: Gleichheit gilt für ein [mm] $z\in\IN_0$
[/mm]
I.S.: Gleichheit gilt auch für z+1
[mm] $(x+y)*(z+1)\stackrel{def.}{=}(x+y)*z+(x+y)\stackrel{I.V.}{=}xz+yz+(x+y)=xz+x+yz+y=\stackrel{I.V.}{=}x*(z+1)+y*(z+1)$
[/mm]
Dass die Gleichheit auch für $z<0$ gilt, dürfte jetzt kein Problem mehr sein zu zeigen.
Viele Grüße,
Marc
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