Aufgabe zu Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Do 09.05.2013 | | Autor: | martinii |
| Aufgabe | An einer Tafel sind mehrere Kreise, Dreiecke und Quadrate gezeichnet. Hierbei ist es erlaubt, zwei Figuren zu löschen und dafür eine neue Figur anzumalen. Dabei gelten folgende Regel:
Zwei Kreise ergeben einen Kreis
zwei Quadrate ergeben ein Dreieck
zwei Dreiecke ergeben ein Quadrat
ein Kreis und ein Quadrat ergeben ein Quadrat
ein Kreis und ein Dreieck ergeben ein Dreieck
ein Quadrat und ein Dreieck ergeben einen Kreis
Überprüfe, dass die Gestalt der letzten Figur nicht von der Folge der Ausführung abhängig ist. |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an einem Kapitel über Gruppen und dabei kommt die oben gestellte Aufgabe vor.
Als Lösung steht nur der Tipp, mann solle die Assoz. zeigen.
Irgendwie klappt das aber bei mir nicht so.
Ich habe folgendes Versucht:
ges: Q+D=K=D+Q
Q+D = D+D+S+S = D+K+D+Q+K+Q = K+D+K+D+K+Q+K+Q
Auch wenn ich es nochmal umschreibe komme ich einfach nicht auf D+Q
Hat jdm von euch vielleicht eine Idee?
Und was hat diese Aufgabe mit Gruppen zu tun? Das ist mir auch noch nicht so klar...
Vielen Dank
martinii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> An einer Tafel sind mehrere Kreise, Dreiecke und Quadrate
> gezeichnet. Hierbei ist es erlaubt, zwei Figuren zu
> löschen und dafür eine neue Figur anzumalen. Dabei gelten
> folgende Regel:
>
> Zwei Kreise ergeben einen Kreis
> zwei Quadrate ergeben ein Dreieck
> zwei Dreiecke ergeben ein Quadrat
> ein Kreis und ein Quadrat ergeben ein Quadrat
> ein Kreis und ein Dreieck ergeben ein Dreieck
> ein Quadrat und ein Dreieck ergeben einen Kreis
>
> Überprüfe, dass die Gestalt der letzten Figur nicht von
> der Folge der Ausführung abhängig ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze gerade an einem Kapitel über Gruppen und dabei
> kommt die oben gestellte Aufgabe vor.
> Als Lösung steht nur der Tipp, mann solle die Assoz.
> zeigen.
> Irgendwie klappt das aber bei mir nicht so.
>
> Ich habe folgendes Versucht:
>
> ges: Q+D=K=D+Q
wieso ist das gesucht? Da steht auch nichts davon, dass [mm] $+\,$ [/mm] kommutiere,
auch, wenn das aus der Aufgabenstellung heraus anzunehmen ist, weil
man halt sicher zwei Figuren zeitgleich löscht, oder aber, wenn ich sie
stattdessen nacheinander lösche, es wohl egal sein sollte, welche ich
zuerst gelöscht habe. Aber oben würde ich, wenn ich nicht direkt
annehme, dass die "Löschreihenfolge" egal wäre, eher die Gleichung
[mm] $$Q+D=K\,,$$
[/mm]
hinschreiben. Die Gleichung $D+Q=K$ würde ich hinschreiben, wenn ich den Satz
> ein Dreieck und ein Quadrat ergeben einen Kreis
finden würde. Aber rein logisch ist "und" 'zeitunabhängig', daher würde ich
sowieso, wie gesagt, von Kommutativtät bzgl. [mm] $+\,$ [/mm] bei den definierten
Ausdrücken ausgehen. Schreib' Dir aber auch mal eine Verknüpfungstafel auf...
> Q+D = D+D+S+S = D+K+D+Q+K+Q = K+D+K+D+K+Q+K+Q
>
> Auch wenn ich es nochmal umschreibe komme ich einfach nicht
> auf D+Q
> Hat jdm von euch vielleicht eine Idee?
>
> Und was hat diese Aufgabe mit Gruppen zu tun? Das ist mir
> auch noch nicht so klar...
Zur letzten Frage: Du hast doch eine Menge [mm] $G\,$ [/mm] von Figuren [mm] ($G=\{K,D,Q\}$), [/mm]
auf der eine gewisse Verknüpfung, Du hast sie [mm] $+\colon [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to G\,$ [/mm] genannt, definiert ist.
Prüfe halt, ob [mm] $(G,+)\,$ [/mm] die Gruppenaxiome erfüllt. [mm] ($G\,$ [/mm] ist endlich, da
kann man bei der Assoziativität etwa schlimmstenfalls alle Fälle
durchgehen...)
Sowas wie [mm] $(K+Q)+Q\,,$ [/mm] was ja per Definitionem erstmal $=Q+Q$ ist (weil [mm] $K+Q=Q\,$ [/mm]
definiert war), und damit schlussendlich [mm] $=D\,$ [/mm] wird, sollte das Gleiche
sein, wie [mm] $K+(Q+Q)\,.$
[/mm]
Und [mm] $K+(Q+Q)\,$ [/mm] ist per Definitionem erstmal [mm] $=K+D\,$ [/mm] (weil [mm] $Q+Q=D\,$) [/mm]
und das war per Definitionem tatsächlich [mm] $=D\,.$
[/mm]
Ich habe also jetzt schonmal $(K+Q)+Q=D=K+(Q+Q)$ nachgerechnet. Du musst
halt für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] G$ hier $(x+y)+z=x+(y+z)$ nachrechnen, dann ist [mm] $(G,+)\,$
[/mm]
schonmal als Halbgruppe erkannt. Zur Gruppeneigenschaft gehört halt mehr
als nur Assoziativität. Also musst Du noch "neutrales Element" und "inverse
Elemente" angeben und nachrechnen...
P.S. Und die "Unabhängigkeit der Ausführung der Reihenfolge" hat nichts mit
Kommutativität zu tun, sondern eben mit Assoziativität:
Etwa in [mm] $\IR$ [/mm] ist es egal, ob ich
$$(2+4)+(7+5)=6+12$$
oder
$$2+((4+7)+5)=2+(11+5)=2+16$$
oder
$$(2+(4+7))+5=(2+11)+5=13+5$$
oder ... rechne.
Und weil das egal ist, kann ich mir Klammern sparen und einfach
$$2+4+7+5$$
schreiben, und egal, "in welcher Reihenfolge" ausgewertet wird, man
kommt immer zum gleichen Ergebnis (hier [mm] $=18\,$).
[/mm]
Und Du brauchst halt nur "Assoziativität für drei Objekte",
um diese auf (beliebig, aber endlich viele) dann übertragen zu können.
Siehe dazu auch gerne
diese Diskussion (klick!)
insbesondere auch
das hier (klick!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 09.05.2013 | | Autor: | martinii |
Hallo Marcel,
schon mal vielen Dank für deine Antwort und Erklärung!
Mir ist jedoch immer noch nicht so klar, warum hier die Assoz. gezeigt werden soll für die Lösung. Liegt vielleicht auch daran, dass ich nicht weiß was die Aufgabe mir überhaupt sagen/zeigen soll.
Reicht es dann hier zu zeigen, dass
(Q+D)+K= K+K = K Q+(D+K)= Q+D = K
Weil z.B
(Q+D)+ D = K+D = D Q+(D+D)= Q+ Q = D bildet ja keinen Kreis mehr
Noch kurz zum nachweis das hier eine Gruppe (G,+) (wie du sie oben def. hast) vorliegt:
Axiom 1 ist klar, da es ja schon durch die rechenvorschrift vorgegeben ist
Axiom 2 stimmt auch, wenn man die ganzen Fälle durchgeht. Sind glaube ich 18 Stück
Axiom 3 Neutral Element ist der Kreis (?)
Axiom 4 Kreis ist Selbstinvers und das Inverse zum Quadrat ist das Dreieck und umgekehrt (?)
Danke und LG
Martinii
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:34 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist das jetzt 'n bisschen zu spät, da genauer drauf einzugehen:
> Hallo Marcel,
>
> schon mal vielen Dank für deine Antwort und Erklärung!
>
> Mir ist jedoch immer noch nicht so klar, warum hier die
> Assoz. gezeigt werden soll für die Lösung. Liegt
> vielleicht auch daran, dass ich nicht weiß was die Aufgabe
> mir überhaupt sagen/zeigen soll.
ganz im Ernst: Die Aufgabe sagt eigentlich nur, dass Du eben das
(allgemeine) Assoziativitätsgesetz nachrechnen sollst - und zwar für den
speziellen Fall. Da Du nicht für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] nun alle Fälle
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k$$
[/mm]
mit stets [mm] $a_k \in G=\{Q,K,D\}$ [/mm] tun kannst, rechnest Du das Assoziativitätsgesetz
nur für [mm] $n=3\,$ [/mm] nach, und dann kannst Du das allgemeine - induktiv -
folgern (deswegen der Link zu dem, was Tobias neulich nachfragte).
Nehmen wir mal an, ich würde [mm] $\oplus \colon \{0,1,2\} \to \{0,1,2\}$ [/mm] definieren wie folgt:
$0 [mm] \oplus 0=1,\,$ [/mm] $0 [mm] \oplus 1=1\,$ [/mm] und $0 [mm] \oplus 2=0\,,$
[/mm]
$1 [mm] \oplus 0=0,\,$ [/mm] $1 [mm] \oplus 1=2\,$ [/mm] und $1 [mm] \oplus 2=0\,,$
[/mm]
$2 [mm] \oplus 0=0,\,$ [/mm] $2 [mm] \oplus 1=2\,$ [/mm] und $2 [mm] \oplus 2=0\,.$
[/mm]
Wenn ich jetzt $1 [mm] \oplus [/mm] 2 [mm] \oplus [/mm] 0$ hinschreibe, hängt das Ergebnis von
"der Reihenfolge meiner Auswertung" ab:
Rechne ich $(1 [mm] \oplus [/mm] 2) [mm] \oplus 0\,,$ [/mm] so gilt:
$(1 [mm] \oplus [/mm] 2) [mm] \oplus [/mm] 0=0 [mm] \oplus 0=1\,.$
[/mm]
Rechne ich $1 [mm] \oplus [/mm] (2 [mm] \oplus 0)\,,$ [/mm] so gilt:
$1 [mm] \oplus [/mm] (2 [mm] \oplus [/mm] 0)=1 [mm] \oplus 0=0\,.$
[/mm]
Es macht also einen Unterschied, ob ich erst die ersten beiden Elemente
bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] addiere und dann das Ergebnis (es bleibt links!) zum dritten
bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] addiere,
oder, ob ich erst die beiden rechten Elemente (sogar ohne Vertauschung
ihrer Seiten!) bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] addiere und dann das erste Element von links
an dieses Ergebnis bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] dranaddiere.
Du siehst also: Die Elemente bleiben immer in ihrer Reihenfolge stehen (bei
"$1 [mm] \oplus [/mm] 2 [mm] \oplus [/mm] 0$" haben wir sowohl in $(1 [mm] \oplus [/mm] 2) [mm] \oplus [/mm] 0$ als auch in $1 [mm] \oplus [/mm] (2 [mm] \oplus [/mm] 0)$ die
Reihenfolge "1,2,0"), aber "je nachdem, wie man auswertet, erhält man
verschiedene Ergebnisse".
In dem Sinne muss hier, weil man keine Assoziativität hat, klar sein, wie
der Term "$1 [mm] \oplus [/mm] 2 [mm] \oplus [/mm] 0$" auszuwerten wäre. Man sollte es dazuschreiben oder
meinetwegen dran erinnern, wenn es da eine allgemeingültige Konvention
gibt. Hat man die Assoziativität, so kann man sich darüber jedes Wort
ersparen, weil es dann egal ist, was man zuerst auswertet...
Schau' Dir auch mal das an, was ich bei Tobias geantwortet hatte. Die
Notation mit dem [mm] $f\,$. [/mm] Sie wirkt erstmal irgendwie "undurchdringbarer",
aber wenn man sie verstanden hat, kapiert man viel mehr, was eigentlich
der Inhalt des Assoziativitätsgesetzes ist und warum diese so trivial
aussehende Regel gar nicht immer gelten muss - bzw. anders gesagt:
Dass da wirklich eigentlich ein "starker" Inhalt dahinter steht...
P.S. Das "Summenzeichen" oben macht auch Sinn, wenn man es für eine
nicht notwendig assoziative Addition in folgendem definierten Sinne
benutzt:
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1}:=(\sum_{k=1}^n a_k)+a_{n+1}\,.$$
[/mm]
Hier wird quasi "immer schrittweise von links nach rechts" ausgewertet,
etwa (auch, wenn wir in [mm] $\IR$ [/mm] eh Assozitivität bzgl. [mm] $+\,$ [/mm] haben), mal
beispielhaft in schlechter Notation:
Seien [mm] $a_1:=1\,,$ $a_2:=2\,,$ $a_3:=5$ [/mm] und [mm] $a_4:=7\,.$
[/mm]
Dann
[mm] $$\underbrace{\sum_{k=1}^4 a_k}_{=1+2+5+7}=(1+2)+5+7=3+5+7=(3+5)+7=8+7=15$$
[/mm]
oder in besserer Notation
[mm] $$\underbrace{\sum_{k=1}^4 a_k}_{=1+2+5+7}=\underbrace{\;\;(\underbrace{\;\;(\underbrace{1+2}_{\text{1. Ergebnis}})+5)}_{\text{2. Ergebnis}\;\;}+7}_{\text{3. Ergebnis}}=(3+5)+7=8+7=15\,.$$
[/mm]
In der "schlechteren Notation" ist aber klarer, was man macht:
Man fängt links an, führt die Operation mit dem nächsten Objekt aus. Das
Ergebnisobjekt sieht dann, falls vorhanden, das nächste rechtsstehende
Objekt etc. pp.
Ich hoffe, Dir ist klar, wie ich das meine...
Gruß,
Marcel
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> Mir ist jedoch immer noch nicht so klar, warum hier die
> Assoz. gezeigt werden soll für die Lösung. Liegt
> vielleicht auch daran, dass ich nicht weiß was die Aufgabe
> mir überhaupt sagen/zeigen soll.
Hallo,
man hat einen Fundus von Figuren, und es wird angegeben, in welcher Art und Weise zwei Figuren zu einer neuen verschmelzen.
In der Aufgabenstellung gibt es keinen Hinweis darauf, daß die Reihenfolge des Ausstreichens eine Rolle spielt.
Daher kommt es mir nicht voreilig oder fahrlässig vor, die Kommutativität der Verschmelzung festzustellen.
Damit steht die Verknüpfungstafel.
Nun ist die Frage:
angenommen, wir haben buntgemischt etwa 8 Dreiecke, 15 Kreise und 4711 Quadrate.
Besteht die Möglichkeit, verschiedene Endfiguren zu erreichen?
Wenn es jetzt gelingt zu zeigen, daß das Assoziativgesetz gilt, ist doch gezeigt, daß das Endergebnis unabhängig von der Reihenfolge der durchgeführten Verschmelzungsoperationen ist, denn wir können nach Herzenlust vertauschen und klammern. Es kommt nur auf die Anzahl der zu Beginn zur Verfügung stehenden Figuren an.
> Noch kurz zum nachweis das hier eine Gruppe (G,+) (wie du
> sie oben def. hast) vorliegt:
>
> Axiom 1 ist klar, da es ja schon durch die rechenvorschrift
> vorgegeben ist
> Axiom 2 stimmt auch, wenn man die ganzen Fälle durchgeht.
> Sind glaube ich 18 Stück
> Axiom 3 Neutral Element ist der Kreis (?)
Ja.
> Axiom 4 Kreis ist Selbstinvers und das Inverse zum Quadrat
> ist das Dreieck und umgekehrt (?)
Ja. jedes Element hat ein Inverses.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:08 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
sicherlich eine ungewöhnliche Aufgabenstellung... 
> Da steht auch nichts davon, dass [mm]+\,[/mm]
> kommutiere,
Naja, wenn $+$ eine Verknüpfung auf [mm] $M:=\{K,D,Q\}$ [/mm] sein soll, so muss für alle [mm] $m_1,m_2\in [/mm] M$ der Wert [mm] $m_1+m_2$ [/mm] erklärt sein.
Somit sollte man sinnvollerweise beispielsweise $Q+D:=K$ und $D+Q:=K$ setzen.
So erhält man eine kommutative Verknüpfung $+$.
Und das ist auch wichtig: Beispielsweise könnten an der Tafel zunächst ein Kreis, ein Dreieck und zwei Quadrate sein.
Das Ergebnis eines Ersetzungsvorganges kann dann beispielsweise beschrieben werden durch
$(Q+Q)+(D+K)$
(z.B. zuerst werden die beiden Quadrate ersetzt, dann das ursprüngliche Dreieck und der ursprüngliche Kreis)
oder
$(Q+D)+(Q+K)$
(z.B. zuerst werden ein Quadrat und ein Dreieck ersetzt, dann das ursprüngliche andere Quadrat und der ursprüngliche Kreis).
Es ist also in der Tat wichtig, dass beispielsweise $(Q+Q)+(D+K)=(Q+D)+(Q+K)$ gilt, wozu man (neben der Assozitivität) mit der Kommutativität von $+$ argumentieren wird.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo zusammen,
>
>
> sicherlich eine ungewöhnliche Aufgabenstellung...
>
>
> > Da steht auch nichts davon, dass [mm]+\,[/mm]
> > kommutiere,
> Naja, wenn [mm]+[/mm] eine Verknüpfung auf [mm]M:=\{K,D,Q\}[/mm] sein soll,
> so muss für alle [mm]m_1,m_2\in M[/mm] der Wert [mm]m_1+m_2[/mm] erklärt
> sein.
das war ein weiterer Grund, warum ich davon ausgegangen war. (Deshalb
auch der Hinweis mit "Verknüpfungstafel", denn man sieht ja, dass
andernfalls bei dieser was fehlen würde). Aber wer sagt uns denn, dass
der Aufgabensteller uns hier nicht einfach nur Informationen vorenthalten
will, oder die Aussage nur bzgl. "Teilinformationen" meint? Aber auch das
macht keinen Sinn, stellt er sie doch als "Aufgabe bzgl. Gruppen". Von
daher bin ich davon ausgegangen...
> Somit sollte man sinnvollerweise beispielsweise [mm]Q+D:=K[/mm] und
> [mm]D+Q:=K[/mm] setzen.
>
> So erhält man eine kommutative Verknüpfung [mm]+[/mm].
>
>
> Und das ist auch wichtig: Beispielsweise könnten an der
> Tafel zunächst ein Kreis, ein Dreieck und zwei Quadrate
> sein.
>
> Das Ergebnis eines Ersetzungsvorganges kann dann
> beispielsweise beschrieben werden durch
>
> [mm](Q+Q)+(D+K)[/mm]
>
> (z.B. zuerst werden die beiden Quadrate ersetzt, dann das
> ursprüngliche Dreieck und der ursprüngliche Kreis)
>
> oder
>
> [mm](Q+D)+(Q+K)[/mm]
>
> (z.B. zuerst werden ein Quadrat und ein Dreieck ersetzt,
> dann das ursprüngliche andere Quadrat und der
> ursprüngliche Kreis).
>
> Es ist also in der Tat wichtig, dass beispielsweise
> [mm](Q+Q)+(D+K)=(Q+D)+(Q+K)[/mm] gilt, wozu man (neben der
> Assozitivität) mit der Kommutativität von [mm]+[/mm] argumentieren
> wird.
Nach wie vor: Für mich spielt die Kommutativität hier keine Rolle - nur
insofern, dass sie "in sinnvoller Weise" angenommen werden muss, damit
man [mm] $+\,$ [/mm] als Abbildung $G [mm] \times G\to [/mm] G$ hier auch "vollständig" beschrieben
hat! Ist aber die Frage, ob der Aufgabensteller überhaupt [mm] $+\,$ [/mm] vollständig
beschreiben wollte. Aber ich hatte ja auch gesagt: In der Aussage etwa
vom "Löschen eines Dreiecks und eines Quadrats" steckt in dem "und" ja
keine Zeitabhängigkeit...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> > Es ist also in der Tat wichtig, dass beispielsweise
> > [mm](Q+Q)+(D+K)=(Q+D)+(Q+K)[/mm] gilt, wozu man (neben der
> > Assozitivität) mit der Kommutativität von [mm]+[/mm] argumentieren
> > wird.
>
> Nach wie vor: Für mich spielt die Kommutativität hier
> keine Rolle - nur
> insofern, dass sie "in sinnvoller Weise" angenommen werden
> muss, damit
> man [mm]+\,[/mm] als Abbildung [mm]G \times G\to G[/mm] hier auch
> "vollständig" beschrieben
> hat! Ist aber die Frage, ob der Aufgabensteller überhaupt
> [mm]+\,[/mm] vollständig
> beschreiben wollte. Aber ich hatte ja auch gesagt: In der
> Aussage etwa
> vom "Löschen eines Dreiecks und eines Quadrats" steckt in
> dem "und" ja
> keine Zeitabhängigkeit...
Die "Kommutativität bei EINEM Löschvorgang" spielt in der Tat keine Rolle. Schließlich können wir jeden einzelnen Löschvorgang durch eine Verknüpfung in "richtiger" Reihenfolge darstellen.
Aber unterschiedliche "Löschvorgangs-Ketten" führen (manchmal) zu "Verknüpfungs-Ketten" in unterschiedlichen Reihenfolge. Damit jeweils die gleiche Figur übrig bleibt, muss bei diesen "Verknüpfungs-Ketten" unabhängig von der Reihenfolge das gleiche herauskommen.
Noch ein Beispiel dazu: Zu Beginn zwei Quadrate und zwei Dreiecke (keine Kreise).
Löschvorgangs-Kette 1: Erst die beiden Quadrate löschen, dann die beiden ursprünglichen Dreiecke löschen. (Schließlich die beiden neuen Figuren löschen.)
Löschvorgangs-Kette 2: Erst ein Quadrat und ein Dreieck löschen, dann die beiden anderen ursprünglichen Figuren (ebenfalls ein Quadrat und ein Dreieck) löschen. (Schließlich die beiden neuen Figuren löschen.)
Löschvorgangs-Kette 1 wird durch folgende Verknüpfungs-Kette beschrieben:
$(Q+Q)+(D+D)$.
Löschvorgangs-Kette 2 wird durch folgende Verknüpfungs-Kette beschrieben:
$(Q+D)+(Q+D)$.
Um die Übereinstimmung der beiden übrig bleibenden Figuren zu sehen, benötigen wir die Übereinstimmung der Ergebnisse der beiden Verknüpfungs-Ketten:
$(Q+Q)+(D+D)=(Q+D)+(Q+D)$.
Um das zu verifizieren, benötigen wir (wenn wir nicht beide Seiten explizit ausrechnen wollen) auch das verallgemeinerte Kommutativgesetz.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
mir scheint, wir reden ein wenig aneinander vorbei:
> Überprüfe, dass die Gestalt der letzten Figur nicht von der Folge der Ausführung abhängig ist.
In diesem Satz steckt für mich keine Frage nach der Kommutativität.
Unabhängig davon ist es bei der Aufgabe eh sinnvoll, davon auszugehen,
dass [mm] $+\,$ [/mm] kommutiert. Wenn ich also das "normale" und damit auch das
allgemeine Assoziativgesetz hier nachgerechnet habe, bin ich fertig.
Wenn ich zudem Kommutativität bzgl. [mm] $+\,$ [/mm] für zwei Objekte habe, habe ich
die auch allgemein. Das ist alles richtig.
Nur: Bzgl. der Aufgabenstellung interessiert mich das gar nicht, mich
interessiert dabei einfach nur die Assoziativität!
P.S. Unabhängig davon, was der Satz für Dich beinhaltet: Der
Aufgabensteller hätte auch klarer definieren können, was genau er unter
einer Variation "der Folge der Ausführung" genau versteht. Denn das ist
eigentlich der einzige Diskussionspunkt momentan.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hi Marcel,
> mir scheint, wir reden ein wenig aneinander vorbei:
>
> > Überprüfe, dass die Gestalt der letzten Figur nicht von
> der Folge der Ausführung abhängig ist.
>
> In diesem Satz steckt für mich keine Frage nach der
> Kommutativität.
Für mich genauso wenig eine Frage nach Assoziativität. Nur zur Lösung benötigt man beides!
> Unabhängig davon ist es bei der Aufgabe eh sinnvoll, davon
> auszugehen,
> dass [mm]+\,[/mm] kommutiert. Wenn ich also das "normale" und damit
> auch das
> allgemeine Assoziativgesetz hier nachgerechnet habe, bin
> ich fertig.
> Wenn ich zudem Kommutativität bzgl. [mm]+\,[/mm] für zwei Objekte
> habe, habe ich
> die auch allgemein. Das ist alles richtig.
>
> Nur: Bzgl. der Aufgabenstellung interessiert mich das gar
> nicht, mich
> interessiert dabei einfach nur die Assoziativität!
Wie begründest du denn beispielsweise $(Q+Q)+(D+D)=(Q+D)+(Q+D)$, ohne die Kommutativität zu benutzen?
> P.S. Unabhängig davon, was der Satz für Dich beinhaltet:
> Der
> Aufgabensteller hätte auch klarer definieren können, was
> genau er unter
> einer Variation "der Folge der Ausführung" genau
> versteht. Denn das ist
> eigentlich der einzige Diskussionspunkt momentan.
Naja, wir sind uns doch einig, dass die in meiner vorigen Mitteilung genannten beiden Löschvorgangsketten zulässige Folgen der Ausführung im Sinne der Aufgabenstellung sind, oder?
Also muss bei beiden die gleiche Figur übrig bleiben.
Um das algebraisch zu verifizieren, ist $(Q+Q)+(D+D)=(Q+D)+(Q+D)$ zu prüfen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
wir reden aber immer noch aneinander vorbei:
Ich interpretiere die Aufgabenstellung REIN nach der Frage der Assoziativität,
Du, wenn ich es richtig verstehe, als nach einer Frage sowohl der Assoziativität
als auch der Kommutativität. Unabhängig davon sind wir beide uns aber einig,
dass hier eh [mm] $+\,$ [/mm] sicher kommutieren sollte.
> Hi Marcel,
> > mir scheint, wir reden ein wenig aneinander vorbei:
> >
> > > Überprüfe, dass die Gestalt der letzten Figur nicht von
> > der Folge der Ausführung abhängig ist.
> >
> > In diesem Satz steckt für mich keine Frage nach der
> > Kommutativität.
> Für mich genauso wenig eine Frage nach Assoziativität.
> Nur zur Lösung benötigt man beides!
Für mich ist das einfach eine reine Frage von "was wird zuerst ausgewertet und
dann weiterverwendet", wobei ich beim "Weiterverwenden" nicht wirklich Reihenfolge
vertauschen können muss. Aber unabhängig davon macht die Annahme, dass [mm] $+\,$
[/mm]
kommutativ sei, hier nach wie vor Sinn.
> > Unabhängig davon ist es bei der Aufgabe eh sinnvoll, davon
> > auszugehen,
> > dass [mm]+\,[/mm] kommutiert. Wenn ich also das "normale" und
> damit
> > auch das
> > allgemeine Assoziativgesetz hier nachgerechnet habe,
> bin
> > ich fertig.
> > Wenn ich zudem Kommutativität bzgl. [mm]+\,[/mm] für zwei
> Objekte
> > habe, habe ich
> > die auch allgemein. Das ist alles richtig.
> >
> > Nur: Bzgl. der Aufgabenstellung interessiert mich das gar
> > nicht, mich
> > interessiert dabei einfach nur die Assoziativität!
> Wie begründest du denn beispielsweise
> [mm](Q+Q)+(D+D)=(Q+D)+(Q+D)[/mm], ohne die Kommutativität zu
> benutzen?
Wenn ich das Löschen "zeitlich abhängig" machen würde, wäre das nicht rein mit Assoziativität
zu begründen (d.h, [mm] $D+Q\,$ [/mm] könnte was anderes sein als [mm] $Q+D\,,$ [/mm] denn das Objekt, was zuerst
gelöscht werden würde, steht dann linkerhand). Es kann ja auch sein, dass Du Recht hast, und
die Aufgabenstellung sowas auch meint, aber ich lese sowas da halt einfach nicht heraus. Deswegen
nach wie vor: Der Aufgabensteller hätte - MEINER MEINUNG NACH - klarer sagen soll, was er unter
einer Variation der "Folge der Ausführung" versteht. Nichtsdestotrotz braucht er das dann doch wieder
nicht, wenn er es so meint, wie Du es auffasst, weil er dann die Kommutativität voraussetzt, und man
dann für Deine obige Gleichheit nur noch Assoziativität braucht.
> > P.S. Unabhängig davon, was der Satz für Dich beinhaltet:
> > Der
> > Aufgabensteller hätte auch klarer definieren können, was
> > genau er unter
> > einer Variation "der Folge der Ausführung" genau
> > versteht. Denn das ist
> > eigentlich der einzige Diskussionspunkt momentan.
> Naja, wir sind uns doch einig, dass die in meiner vorigen
> Mitteilung genannten beiden Löschvorgangsketten zulässige
> Folgen der Ausführung im Sinne der Aufgabenstellung sind,
> oder?
>
> Also muss bei beiden die gleiche Figur übrig bleiben.
>
> Um das algebraisch zu verifizieren, ist
> [mm](Q+Q)+(D+D)=(Q+D)+(Q+D)[/mm] zu prüfen.
Wenn Du die Frage so auffasst: Ja. Ich fasse sie halt nicht so auf. Und ich sage ja auch nicht, dass meine
Auffassung korrekt ist. Ich finde einfach, dass aus der Formulierung der Frage heraus nicht ganz klar ist,
dass mit einer "Variation der 'Folge der Ausführung'" auch eine Variation der Reihenfolge des Löschens
der Objekte gemeint ist. Für mich ist das nur eine "Variation der Auswertung der Operationsreihenfolge", ohne
notwendig dabei die Objektreihenfolge zu veränden". Wir diskutieren hier also über sprachliche Interpretation.
Und wie gesagt: Ich weiß nicht, wer - mit seiner Interpretation - recht hat. Ich würde sogar drauf tippen,
dass Du bei einer Umfrage mehr Zustimmer bekämst als ich. Aber ist das wirklich wichtig?
Denn was wirklich gemeint ist, könnte der Aufgabensteller klar definieren! Und egal, wer von uns beiden recht
hat: Alles reduziert sich (bei beiden Ansichten) darauf, nur die Assoziativität nachzurechnen. (Denn die
Kommutativität nimmst Du automatisch wegen der Aufgabenformulierung an!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
mir ist gerade nicht ganz klar, worüber hier diskutiert wird und welches die unterschiedlichen Positionen sind.
Man hat einen Fundus von Figuren, und es wird angegeben, in welcher Art und Weise zwei Figuren zu einer neuen verschmelzen.
In der Aufgabenstellung gibt es keinen Hinweis darauf, daß die Reihenfolge des Ausstreichens eine Rolle spielt.
Daher kommt es mir nicht voreilig oder fahrlässig vor, die Kommutativität der Verschmelzung festzustellen.
Damit steht die Verknüpfungstafel.
Nun ist die Frage:
angenommen, wir haben buntgemischt etwa 8 Dreiecke, 15 Kreise und 4711 Quadrate.
Besteht die Möglichkeit, verschiedene Endfiguren zu erreichen?
Wenn es jetzt gelingt zu zeigen, daß das Assoziativgesetz gilt, ist doch gezeigt, daß das Endergebnis unabhängig von der Reihenfolge der durchgeführten Verschmelzungsoperationen ist. Es kommt - da die Verschmelzung auch kommutativ ist - nur darauf an, wieviele Dreiecke, Kreise, Quadrate vorhanden sind.
So verstehe ich das mit meinem Hausfrauenhirn.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> Hallo,
>
> mir ist gerade nicht ganz klar, worüber hier diskutiert
> wird und welches die unterschiedlichen Positionen sind.
>
> Man hat einen Fundus von Figuren, und es wird angegeben, in
> welcher Art und Weise zwei Figuren zu einer neuen
> verschmelzen.
> In der Aufgabenstellung gibt es keinen Hinweis darauf,
> daß die Reihenfolge des Ausstreichens eine Rolle spielt.
> Daher kommt es mir nicht voreilig oder fahrlässig vor,
> die Kommutativität der Verschmelzung festzustellen.
>
> Damit steht die Verknüpfungstafel.
>
> Nun ist die Frage:
>
> angenommen, wir haben buntgemischt etwa 8 Dreiecke, 15
> Kreise und 4711 Quadrate.
> Besteht die Möglichkeit, verschiedene Endfiguren zu
> erreichen?
>
> Wenn es jetzt gelingt zu zeigen, daß das Assoziativgesetz
> gilt, ist doch gezeigt, daß das Endergebnis unabhängig
> von der Reihenfolge der durchgeführten
> Verschmelzungsoperationen ist. Es kommt - da die
> Verschmelzung auch kommutativ ist - nur darauf an, wieviele
> Dreiecke, Kreise, Quadrate vorhanden sind.
>
> So verstehe ich das mit meinem Hausfrauenhirn.
genauso sieht Tobi das auch. Ich nicht, aber eigentlich ist das eh nicht
wichtig, von daher: Man kann auch stundenlang über Sachen diskutieren,
dessen Ergebnis eh nicht von der Ansicht abhängt.
Und nach wie vor: Ich sehe die Kommutativität hier auch als gegeben an,
aber bzgl. der Fragestellung spielt das für mich keine Rolle. Ob das richtig
ist oder nicht, ist mir, so langsam, auch ein wenig egal. Was ändert es an
der Lösung?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 14.05.2013 | | Autor: | martinii |
Hallo zusammen,
sorry das ich mich erst jetzt wieder melde. Wie ich sehe seit ihr auch fleißig am diskutieren.
Bis jetzt bin ich selbst auch noch nicht weiter gekommen mit der Aufgabe.
Aber vielen Dank für eure Unterstützung =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> sorry das ich mich erst jetzt wieder melde. Wie ich sehe
> seit ihr auch fleißig am diskutieren.
> Bis jetzt bin ich selbst auch noch nicht weiter gekommen
> mit der Aufgabe.
ich fasse nochmal zusammen: Dass [mm] $+\,$ [/mm] kommutativ ist, davon sollst Du ausgehen,
alleine schon, damit [mm] $+\,$ [/mm] auf ganz [mm] $G=\{K,D,Q\}$ [/mm] definiert ist (es gibt auch
andere Gründe). Also gilt sowieso [mm] $x+y=y+x\,$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in G\,,$ [/mm] und daraus folgt
auch schon, dass hier das verallgemeinerte Kommutativitätsgesetz gilt.
Rechne nun also nur noch die Assoziativität
$$(x+y)+z=x+(y+z)$$
für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] G$ nach. Daraus folgt, dass hier das verallgemeinerte Assoziativitätsgesetz
gilt.
Bleiben wir bei Angelas und Tobias Interpretation, dass Du die beiden Gesetze
bzgl. der Aufgabenstellung brauchst, bist Du fertig. Meine Interpretation
der Aufgabenstellung ist etwas anders, das ist aber irrelevant, weil man
auch bei meiner noch das Assoziativitätsgesetz nachrechnen muss, genauso,
wie bei Angelas und Tobias Interpretation auch. Bei meiner Interpretation
der Aufgabe wäre das eh alles, was nachzurechnen wäre, bei der
von Angela und Tobias reicht sie nicht, sondern da ist dann noch die
Kommutativität ZUDEM nachzurechnen. Die folgt hier aber bei deren
Interpretation auch direkt aus der Aufgabenstellung, also:
Alles reduziert sich für Dich darauf, Assoziativität nachzurechnen, egal, wie
die Aufgabe interpretiert werden soll ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 15.05.2013 | | Autor: | martinii |
Hey Marcel,
> Rechne nun also nur noch die Assoziativität
> [mm](x+y)+z=x+(y+z)[/mm]
> für alle [mm]x,y,z \in G[/mm] nach. Daraus folgt, dass hier das
> verallgemeinerte Assoziativitätsgesetz
> gilt.
Das habe ich gemacht, da ich überprüft habe, dass $ [mm] G=\{K,D,Q\} [/mm] $ eine Gruppe ist. =)
Mein Gedanke ging halt in die Richtung, dass ich irgendwie Gleichungen ausrechnen muss, mit (Q+D)+z = Q+(D+z), wo der Kreis als Ergebnis rauskommt. Das rechnet man natürlich auch aus, wenn man alle Kombinationen für das Assoz.gesetz durchgeht. Aber ich dachte die wollen, dass ich hier etwas spezielles ausrechne.
Vielen Dank für deine / eure Bemühungen =)
Thema Abgeschlossen
Martinii
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