Aufgabe zu Extrema des arccos < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Monotonieverhalten und die Art und Lage der Extrema für f(x) = [mm] arccos(\bruch{2x}{x^{2} + 1})
[/mm]
Hinweis: die Funktion ist auf arccos: [-1,1] -> [mm] \IR [/mm] ist auf (-1,1) diffbar. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der oben beschriebenen Aufgabe.
Das Monotonieverhalten kann man hier ja recht einfach bestimmen indem man die Ableitung bildet und das Vorzeichen dieser im Intervall (-1,1) betrachtet. Sie ist monoton fallend.
Vielleicht mal noch zur übersicht der Plot bei WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%28%282x%29%2F%28x%C2%B2+%2B1%29%29
Zur Lage der Extrema habe ich allerdings eine Frage. Es gibt bei uns einen Satz der besagt, dass Funktionen die Stetig auf kompakten Intervallen sind, mindestens ein Maximum und Minimum besitzen. Diese Bedingung ist ja hier erfüllt und aus der Monotonie folgt ja eigentlich, dass die Funktion bei -1 ihr Maximum und bei 1 ihr Minimum hat.
Aber:
Im weiteren Verlauf der Veranstalltung wurde gelehrt, dass das notwendige Kriterium für Extrema ist, dass f'(x) = 0 gilt, also das die Steigung der 1. Ableitung 0 ist. Bei dieser Aufgabe ist es aber so, dass die Funktion in den Rändern nicht diffbar ist, also kann man keine Ableitung bilden.
Schließt das nun aus, dass die Funktion Minimum und Maximum hat?
Viele Grüße,
mathelernender
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mo 10.08.2015 | | Autor: | hippias |
> Bestimme das Monotonieverhalten und die Art und Lage der
> Extrema für f(x) = [mm]arccos(\bruch{2x}{x^{2} + 1})[/mm]
>
> Hinweis: die Funktion ist auf arccos: [-1,1] -> [mm]\IR[/mm] ist auf
> (-1,1) diffbar.
>
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> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu der oben beschriebenen Aufgabe.
>
> Das Monotonieverhalten kann man hier ja recht einfach
> bestimmen indem man die Ableitung bildet und das Vorzeichen
> dieser im Intervall (-1,1) betrachtet. Sie ist monoton
> fallend.
>
> Vielleicht mal noch zur übersicht der Plot bei
> WolframAlpha:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%28%282x%29%2F%28x%C2%B2+%2B1%29%29
>
> Zur Lage der Extrema habe ich allerdings eine Frage. Es
> gibt bei uns einen Satz der besagt, dass Funktionen die
> Stetig auf kompakten Intervallen sind, mindestens ein
> Maximum und Minimum besitzen. Diese Bedingung ist ja hier
> erfüllt und aus der Monotonie folgt ja eigentlich, dass
> die Funktion bei -1 ihr Maximum und bei 1 ihr Minimum hat.
>
> Aber:
> Im weiteren Verlauf der Veranstalltung wurde gelehrt, dass
> das notwendige Kriterium für Extrema ist, dass f'(x) = 0
> gilt, also das die Steigung der 1. Ableitung 0 ist.
Nein. Es duerfte vielmehr gelehrt worden sein, dass $f$ an inneren Extremstellen eine Ableitung $=0$ hat; aber auch nur dann, wenn die Ableitung in der Extremstelle ueberhaupt existiert.
> Bei
> dieser Aufgabe ist es aber so, dass die Funktion in den
> Rändern nicht diffbar ist, also kann man keine Ableitung
> bilden.
>
> Schließt das nun aus, dass die Funktion Minimum und
> Maximum hat?
Nein.
>
> Viele Grüße,
> mathelernender
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Hi,
alles klar, ich verstehe, danke für die Erleuchtung.
Ist das dann allgemein so, dass f'(x) = 0 nur für innere Punkte gilt und die Ränder des Intervalls (falls definiert) muss ich dann eben seperat betrachten? Z.B. über den Satz über kompakte Intervalle.
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> Hi,
>
> alles klar, ich verstehe, danke für die Erleuchtung.
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> Ist das dann allgemein so, dass f'(x) = 0 nur für innere
> Punkte gilt und die Ränder des Intervalls (falls
> definiert) muss ich dann eben seperat betrachten? Z.B.
> über den Satz über kompakte Intervalle.
Hallo
Ich glaube, dass du etwas Wichtiges übersehen hast:
die gegebene Funktion ist nicht etwa nur auf dem
Intervall [-1 .. +1] oder (-1 .. +1) definiert, sondern
auf ganz [mm] \IR [/mm] ! Differenzierbar ist sie für alle reellen
Werte außer für die beiden Werte [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1 [/mm] ,
also auch nicht nur im Intervall (-1 .. +1) .
An diesen beiden Stellen nimmt die Funktion ihre
absoluten Extrema an, nämlich das Minimum f(1)=0
und das Maximum [mm] f(-1)=\pi [/mm] .
Die beiden Werte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind also nicht Randstellen
des Definitionsbereiches, sondern innere Stellen.
Allerdings ist an diesen beiden Stellen f nicht differenzierbar,
und deshalb kann man für sie den Satz nicht anwenden,
der besagt, dass an Maximalstellen die Ableitung
verschwinden muss.
Auch falls du den Definitionsbereich auf das Intervall
[-1 .. +1] beschränkst (ob das in der Aufgabe so gemeint
war, scheint mir nicht klar), bleiben die besagten Extrema.
Schränkt man den Definitionsbereich sogar auf das offene
Intervall (-1 .. +1) ein, so fallen natürlich auch die
Extrema weg. Wir hätten dann eine auf einem endlichen
Intervall definierte, stetige (sogar ableitbare) Funktion,
die zwar beschränkt ist, aber weder Minimum noch Maximum hat.
LG , Al-Chw.
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