Aufgabe zu Binomialkoeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Zu beweisen ist:
[mm] \vektor{-n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^k \vektor{n+k-1 \\ k}
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] (-1)^k [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ k} [/mm] ist, doch hilft mir das weiter? Wo sollte ich ansetzen?
Bin nun allein auf einen Ansatz gekommen. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Einfach in die Definition einsetzen:
${-n [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \prod\limits_{i=1}^k \frac{-n-i+1}{i} [/mm] = [mm] (-1)^k \prod\limits_{i=1}^k \frac{n+i-1}{i} \stackrel{(\*)}{=} (-1)^k \prod\limits_{i=1}^k \frac{n+k-i}{i} [/mm] = [mm] (-1)^k \prod\limits_{i=1}^k \frac{n+k-1-i+1}{i} [/mm] = [mm] (-1)^k{n+k-1 \choose k}$.
[/mm]
Beachte, dass in Schritt (*) nur die Reihenfolge der Faktoren im Zähler verändert wurde, was auf Grund des Kommutativgesetzes der Multiplikation erlaubt ist.
Liebe Grüße
Stefan
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