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Hallo,
ist folgende Lösung so richtig:
Die Aufgabe ist: Man gebe in Abhängigkeit von n die Anzahl der Möglichkeiten an, die Zahl [mm] 2^n [/mm] als Summe von vier Quadraten zu schreiben.
[mm] 2^n= [/mm] a²+b²+c²+d²
Ich bezeichne mal N(n) als die Anzahl eben dieser Möglichkeiten.
Ich erhalte durch probieren N(1)=0, N(2)=1...
Dann ist n>2
Die linke Seite ist dann durch 8 teilbar...
Betrachten wir die rechte Seite zunächst modulo 4, erhalten wir nur für den Fall, dass alle 4 Zahlen a,b,c,d ungerade sind oder gerade sind, kongruent mod 4, wie es sein muss aufgrund der Teilbarkeit der linken Seite.
Für den Fall, dass alle ungerade sind, erhalten wir für die Quadrate aber alle kongruent 1 mod 8, also die Summe kongruent 4 mod 8, im Widerspruch zu n>2 also 8 teil die linke, also auch die rechte Seite...
Demnach sind alle 4 Zahlen gerade...Substituirt man a=2a0, b=2b0, c=2c0, d=2d0, erhält man:
2^(n-2)=a0²+b0²+c0²+d0²
Also ist N(n)=N(n-2)..
Mit N(1)=0 und N(2)=1 erhält man also 0 Möglichkeiten für ungerades n und eine Möglichkeit für gerades n.
Lg, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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