Aufgabe #88 (PolM),(?) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 08:44 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
An einer Tafel stehen drei positive ganze Zahlen. In einem Zug können zwei Zahlen weggewischt und durch Summe und (nichtnegative) Differenz ersetzt werden. Ist es, stets möglich so zu ziehen, dass nach endlicher Zugzahl nur noch eine von Null verschiedene Zahl an der Tafel steht?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 29.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Stehen an der Tafel die Zahlen $a,b,c$, so können zwei beliebige Zahlen durch zweifache Anwendung der Spielregel verdoppelt werden. Beispiel: es stehen $1,2,5$ an der Tafel. Wir streichen 1 und 2 weg, schreiben dafür 1 und 3 an die Tafel. Nochmalige Anwendung führt zu den Zahlen 2 und 4. Klar: stehen zu Beginn die Zahlen $a,b$ an der Tafel, so nach der ersten Anwendung $a-b$ und $a+b$ (es sei o.B.d.A. [mm] $a\geq [/mm] b$), nach der zweiten Anwendung $(a+b)-(a-b)=2b$ und $(a+b)+(a-b)=2a$. Wir können also zwei beliebige Zahlen verdoppeln.
Es seien nun [mm] $2^x\cdot [/mm] a, [mm] 2^y\cdot [/mm] b, [mm] 2\not\vert [/mm] a,b$ zwei Zahlen an der Tafel (die dritte Zahl spielt keine Rolle). Sei o.B.d.A. [mm] $x\leq [/mm] y$, dann verdoppeln wir [mm] $2^x\cdot [/mm] a$ und die dritte Zahl so lange, bis [mm] $2^x\cdot [/mm] a$ in [mm] $2^y [/mm] a$ übergegangen ist. Wischen wir nun [mm] $2^y\cdot [/mm] a, [mm] 2^y\cdot [/mm] b$ weg, erhalten wir mit [mm] $a+b=2^{p} [/mm] c, [mm] a-b=2^{q} [/mm] d, [mm] 2\not\vert c,d\quad p,q\geq [/mm] 2$ die Zahlen [mm] $2^{y+p} [/mm] c, [mm] 2^{y+q} [/mm] d$. Die ungeraden Teile $c,d$ sind dann sicher kleiner als die vorherigen Teile $a,b$. Mehrfache Anwendung dieser Prozedur führt dann nach endlich vielen Schritten zu zwei Zweierpotenzen an der Tafel. Diese können nun durch geeignete Iteriation der Verdopplung einander angeglichen werden; streicht man beide Zahlen dann weg und ersetzt sie durch Summe und Differenz, so entsteht eine Null an der Tafel, da beide Zweierpotenzen gleich waren. So erhält man sicher nach endlich vielen Schritten eine Null.
Da die dritte Zahl irrelevant war, kann auf diesme Wege erst die erste Zahl auf Null gebracht werden, im Anschluss daran, wenn wir die erste Zahl in obiger Argumentation als dritte Zahl ansehen, auch die 2. oder 3.. Damit steht nach endlich vielen Zügen nur noch eine von Null verschiedene Zahl an der Tafel.
Liebe Grüße,
Hanno
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