Aufgabe #86 (INMO),(ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:36 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man zeige: es gibt keine positiven, ganzen Zahlen $m,n$ mit [mm] $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} [/mm] = 4$.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Di 30.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Hanno,
die Gleichung
> [mm]\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} = 4[/mm]
mit m malnehmen und umformen:
[mm]\frac{m^{2}}{n} = 4m - n - 1 [/mm].
Dann ist auf der linken Seite m durch n teilbar, weil die rechte Seite eine ganze Zahl ist, und wegen des Quadrats gleich zweimal, also müsste die rechte Seite auch durch n teilbar sein: n teilt 4m und n, aber nicht 1, außer n = 1. Dann ist aber m² = 2(2m-1) als Quadratzahl genau einmal durch 2 teilbar: Widerspruch!
Also gibt es keine ganzen n und m, die die Gleichung erfüllen.
Grüße Richard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 30.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Richard!
Ich antworte mal für Hanno, er ist sicherlich noch in der Schule:
Alles richtig, sehr schöne Lösung! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Leider doch nicht, siehe Kommentar von Teletubyyy!
Leibe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Richard,
> die Gleichung
> > [mm]\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} = 4[/mm]
> mit m malnehmen und
> umformen:
> [mm]\frac{m^{2}}{n} = 4m - n - 1 [/mm].
> Dann ist auf der linken
> Seite m durch n teilbar,
Es folgt doch aus der Gleichung lediglich, dass [mm] m^2 [/mm] durch n teilbar ist. Und da m und n nicht zwangsläufig teilerfremd zu sein brauchen, gilt doch auch nicht [mm] $n|m^2 \Rightarrow [/mm] n|m$. Denn setzt man n=12 und m=6 so gilt ja beispielsweise 12|36 , aber sicher nicht 12|6, da 12>6....
Ich bin im Moment jedenfalls leicht verwirrt ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ..
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Gut, dann macht man das Ganze halt mit einem Primteiler $p$ von $n$. Dann funktioniert die Argumentation aber doch, oder?
Übrigens: Wie gefällt dir dein Name (Samuel) eigentlich? Ich frage aus nicht ganz uneigennützigem Interesse, denn ich werde in knapp drei Monaten Vater eines Sohnes und wir schwanken noch zwischen mehreren Namen... 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ja, ich denke, dass die modifizierte Argumentation in Bezug auf die Primteiler von $n$ so richtig sein sollte!
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
> Ich denk prinzipiell geht die Argumentation in ordnung,
> aber man müsste den (ziemlich trivialen) Fall, dass n eine
> Quadradzahl ist, noch gesondert untersuchen (Denn dann gibt
> es kein [mm]p|n : p|m^2/n[/mm]; allerdings teilt dann [mm]\wurzel{n}[/mm] n
> und m und damit auch die -1)
> Damit hätt ich meinen Senf auch noch dazu gegeben
Okay. Du hast vollkommen Recht, ich hatte mich zunächst vertan.
> Coole Frage ! Aber im ernst, ich bin mit meinem Namen
> schon ganz zufrieden.
Er ist auch mein persönlicher Favorit! Klassisch-biblisch, nicht zu häufig in Deutschland verbreitet, international, passt gut zum voraussichtlichen Aussehen des Jungen und auch ganz gut zu "Hartmann".
Außerdem ist es dann so: Wenn ich "Samuel!" rufe, lautet ja die Übersetzung: "Gott hört!", und das passt ja irgendwie... ![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]")
Aber es stehen noch mehr Namen zur Auswahl!
> Aber ihr habt ja auch noch Zeit mit
> der Namenswahl. Viel erfolg dabei !!!
Danke! 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
