Aufgabe #82 (IMC),(LinA) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:29 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei [mm] $\IK$ [/mm] ein Körper und [mm] $A\in \IK^{n\times n}$ [/mm] eine Diagonalmatrix; die Einträge auf der Hauptdiagonalen seien [mm] $c_1,...,c_k$, [/mm] wobei jedes der [mm] $c_i,i=1,2,...,k$ [/mm] genau [mm] $d_i,i=1,2,...,k$ [/mm] mal auf der Diagonalen stehe; ferner ist [mm] $\sum d_i [/mm] =n$. Man beweise, dass der Vektorraum der mit $A$ kommutierenden Matrizen die Dimension [mm] $\sum d_i^2$ [/mm] hat.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Mo 08.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöle,
dies ist eigentlich von der Anschauung her klar - das einzige Problem wird das Aufschreiben sein.
Als Vorraussetzung darf ich sicherlich verwenden, dass alle quadratischen nxn Matrizen zu der n-dimensionalen Diagonalmatrix $X=x*E$ (beliebiges Vielfache der Einheitsmatrix) kommutativ sind, denn
$YX=Y*x*E=xY=x*E*Y=XY$
Die Matrix die in der aufgabe beschrieben ist, nenne ich nun aber C, denn die [mm] c_i [/mm] stehen auf der Diagonalen , also:
[mm] $C=\pmat{ \fbox{\begin{matrix} c_1 & & \\ & \ddots & \\ & & c_1 \end{matrix}} & & & \\ & \fbox{\begin{matrix} c_2 & & \\ & \ddots & \\ & & c_2 \end{matrix}} & & \\ & & \huge\ddots & \\ & & & \fbox{\begin{matrix} c_k & & \\ & \ddots & \\ & & c_k \end{matrix}} }$
[/mm]
wohlgemerkt : die Blöcke haben die durch die Aufgabe angegebenen Größen [mm] d_i [/mm] (i=1..k)
Sei dann also X eine beliebige Matrix der Form :
[mm] $X=\pmat{ \fbox{X_1} & & & \\ & \fbox{X_2} & & \\ & & \huge\ddots & \\ & & & \fbox{X_k} }$
[/mm]
wobei die [mm] X_i [/mm] quadratische Blockmatrizen der Größe [mm] d_i [/mm] sind.
D.H. also Der Raum aller dieser Matrizen ist gerade $ [mm] \sum d_i^2 [/mm] $ - dimensional groß.
Es ist nun relativ klar, dass [mm] $C*X=\pmat [/mm] { [mm] \fbox{c_1 * X_1} [/mm] & & & [mm] \\ [/mm] & [mm] \fbox{c_2 * X_2} [/mm] & & [mm] \\ [/mm] & & [mm] \huge\ddots [/mm] & [mm] \\ [/mm] & & & [mm] \fbox{c_k * X_k} [/mm] }=X*C$.
Es bleibt zu zeigen, dass es keine andere Form von Matrizen gibt, die das auch erfüllen.
also : angenommen es existiert ein Eintrag außerhalb der Blöcke [mm] X_i [/mm] in C , also:
[mm] $\exists a_{i',j'}\not= [/mm] 0 $ oBdA rechts von einem [mm] X_i [/mm] und oberhalb von einem [mm] X_j [/mm] (also in der rechten oberen Hälfte außerhalb der möglichen Blöcke) - diese i und j sind eindeutig durch i' und j' und die Größen [mm] d_i [/mm] (implizit) bestimmt !
Man betrachte dann den Eintrag an der Position $ (i' , j' ) $ der beiden Matrizen CX und XC:
dann ist dieser Eintrag in CX gerade [mm] $c_i [/mm] * [mm] a_{i',j'}$ [/mm] und in XC gerade [mm] $c_j [/mm] * [mm] a_{i',j'}$ [/mm] .
Und weil diese [mm] c_i [/mm] und [mm] c_j [/mm] in verschiedenen Blöcken liegen, sind sie nach Vorraussetzung ungleich, deshalb ist auch der Eintrag von CX und XC an der Position $ (i' , j' ) $ ungleich (also kommutieren nicht) => Die obige Form ist auch notwendig für das Kommutieren.
viele Grüße
DaMenge
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, die wohl auch richtig sein sollte. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
