Aufgabe #77 (IMC),(Alg) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:24 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei [mm] $G\subset GL_2(\IR)$ [/mm] die von den Matrizen [mm] $A=\pmat{2 & 0 \\ 0 & 1}, B=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$ [/mm] erzeugte Untergruppe von [mm] $GL_2(\IR)$. [/mm] Ferner sei [mm] $H\subset [/mm] G$ die Menge der Matrizen [mm] $\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$ [/mm] aus $G$, für die [mm] $a_{11}=a_{22}=1$ [/mm] gilt.
(a) Man zeige, dass $H$ eine abelsche Untergruppe von $G$ ist.
(b) Man zeige, dass $H$ nicht endlich erzeugt ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:38 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
(a) Man kann sich überlegen, dass $H$ genau aus den Matrizen der Form
[mm] $\pmat{1 & a_{21} \\ 0 & 1}$
[/mm]
besteht, wobei [mm] $a_{21}$ [/mm] eine dyadische Zahl ist,
und wegen
[mm] $\pmat{1 & a_{21} \\ 0 & 1}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & -a_{21} \\ 0 & 1} \in [/mm] H$
ist dies eine Untergruppe von $G$ (das neutrale Element ist ja auch enthalten).
2) Wegen
[mm] $\pmat{1 & a_{21} \\ 0 & 1} \cdot \pmat{1 & b_{21} \\ 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & a_{21} + b_{21} \\ 0 & 1}$
[/mm]
ist $(H, [mm] \circ)$ [/mm] kanonisch isomorph zu $(X,+)$, wobei $X$ die Menge der dyadischen Zahlen ist und letztere ist (natürlich) nicht endlich erzeugt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
>Offenbar besteht $ H $ genau aus den Matrizen der Form
> $ [mm] \pmat{1 & a_{21} \\ 0 & 1} [/mm] $,
Dieses "Offenbar" finde ich nicht so offenbar, denn schließlich muss ja erst einmal erkannt werden, dass durch Linearkombination der Erzeugenden von $G$ alle Matrizen der Form [mm] $\pmat{1 & a_{21} \\ 0 & 1}$ [/mm] generiert werden können - wobei [mm] $a_{21}\in\IR$ [/mm] beliebig gewählt ist. Das wiederum liegt daran, dass wir durch linksseitige Multiplikation von [mm] $\pmat{2 & 1\\ 0 & 1}$ [/mm] die 1. Zeile in der rechts stehenden Matrix verdoppelt. Im Anschluss daran kann man durch linksseitige Multiplikation mit [mm] $\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$ [/mm] eine 1 in die 1. Zeile bringen; Weiter noch können wir nun die entstandene Matrix rechtsseitig mit einer geeigneten Potenz von [mm] $\pmat{\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] multiplizierne, um den Eintrag in der ersten Zeile und ersten Spalte zu normieren. So ist es möglich, für eine beliebige reelle Zahl [mm] $x\in \IR$ [/mm] durch Verwendung derer zwei adischen Darstellung [mit negativen Potenzen von 2, diese erhalten wir durch Multiplikation mit [mm] $\pmat{\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1}$, [/mm] was als Inverses zu [mm] $\pmat{2 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] auch in $G$ liegt] die Matrix [mm] $\pmat{1 & x \\ 0 & 1}$ [/mm] zu kombinieren. Und damit ist, wie du sagst, $(H,+)$ isomorph zu [mm] $(\IR,+)$ [/mm] und wir sind fertig.
Meintest du das so?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Vielen Dank, dass du mich auf meinen peinlichen Fehler aufmerksam gemacht hast. Natürlich werden nur die $2$-adischen Zahlen erzeugt. Peinlich, peinlich, daher muss ich anders argumentieren. Ich verbessere meine Antwort jetzt mal...
Liebe Grüße
Stefan
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