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Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Aufgabe #64 (IrMO),(UGL)
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Aufgabe #64 (IrMO),(UGL): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:41 Mo 18.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es seien $a,b,c,d$ positive reelle Zahlen mit $a+b+c+d=1$. Beweise, dass

[mm] $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\geq \frac{1}{2}$ [/mm]

gilt, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn [mm] $a=b=c=d=\frac{1}{4}$. [/mm]

--

Wenn jemand mag, kann er auch gleich die Verallgemeinerung beweisen.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #64 (IrMO),(UGL): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Mi 20.07.2005
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Du hattest ja gefragt, ob ich nicht auch mal wieder eine Aufgabe lösen möchte. Na gut, dann versuche ich es mal: :-)

Aus der Konvexität der Funktion $f(x)= [mm] \frac{1}{1+x}$ [/mm] für $x>-1$ folgt:

[mm] $\frac{a^2}{a+b} [/mm] + [mm] \frac{b^2}{b+c} [/mm] + [mm] \frac{c^2}{c+d} [/mm] + [mm] \frac{d^2}{d+a}$ [/mm]

$= a [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{a}} [/mm] + b [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{c}} [/mm] + c [mm] \cdot \frac{1}{1+ \frac{d}{c}}+ [/mm] d [mm] \cdot \frac{1}{1 + \frac{a}{d}}$ [/mm]

[mm] $\ge \frac{1}{1+ a \cdot \frac{b}{a} + b \cdot \frac{c}{b} + c \cdot \frac{d}{c} + d \cdot \frac{a}{d}}$ [/mm]

$= [mm] \frac{1}{1+b+c+d+a}$ [/mm]

$= [mm] \frac{1}{2}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #64 (IrMO),(UGL): Super!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 20.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

> Du hattest ja gefragt, ob ich nicht auch mal wieder eine Aufgabe lösen möchte. Na gut, dann versuche ich es mal: :-)

Super, das freut mich!


> Aus der Konvexität der Funktion $ f(x)= [mm] \frac{1}{1+x} [/mm] $ für x>-1 folgt:

> $ [mm] \frac{a^2}{a+b} [/mm] + [mm] \frac{b^2}{b+c} [/mm] + [mm] \frac{c^2}{c+d} [/mm] + [mm] \frac{d^2}{d+a} [/mm] $

> $ = a [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{a}} [/mm] + b [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{c}} [/mm] + c [mm] \cdot \frac{1}{1+ \frac{d}{c}}+ [/mm] d [mm] \cdot \frac{1}{1 + \frac{a}{d}} [/mm] $

> $ [mm] \ge \frac{1}{1+ a \cdot \frac{b}{a} + b \cdot \frac{c}{b} + c \cdot \frac{d}{c} + d \cdot \frac{a}{d}} [/mm] $

> $ = [mm] \frac{1}{1+b+c+d+a} [/mm] $

> $ = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $.

Eine tolle Lösung, sogar mit der Jensen Ungleichung, die ich ja so gerne habe :)



Ich freue mich auf weitere Lösungen von dir :)

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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