matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Mathe-Olympiaden anderer Länder > Aufgabe #63 (IrMO),(FGL)
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Aufgabe #63 (IrMO),(FGL)
Aufgabe #63 (IrMO),(FGL) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:39 Mo 18.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Die Funktion [mm] $f:\IN\to\IN$ ($\IN:=\{1,2,...,\}$) [/mm] erfülle
(1) $f(ab)=f(a)f(b)$ für alle natürlichen Zahlen $a,b$ mit $ggT(a,b)=1$,
(b) $f(p+q)=f(p)+f(q)$ für alle Primzahlen $p,q$.
Beweise, dass $f(2)=2, f(3)=3$ und $f(1999)=1999$.


Liebe Grüße,
Hanno
        
Bezug
Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Mi 20.07.2005
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Ich habe leider nur eine megapeinliche, extrem unelegante Lösung anzubieten:

Aus

$2 [mm] \cdot [/mm] f(3) = f(3) + f(3) = f(6) = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(3)$

folgt:

$f(2)=2$.

Dann ist

$f(4) = 2 [mm] \cdot [/mm] f(2) = 4$

und

(1) $f(12) = f(3) [mm] \cdot [/mm] f(4) = 4 [mm] \cdot [/mm] f(3)$,

andererseits aber:

(2) $f(12) = f(5) + f(7) = 3f(2) + 2f(3) = 6  + 2f(3)$.

Aus (1) und (2) folgt:

$f(3) = 3$.

Ebenso haben wir:

$f(5) = f(2) + f(3) = 5$

und daher

$f(7) = f(2) + f(5) = 7$.

Wir erhalten:

$14 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(7) = f(14) = f(11) + f(3) = f(11) + 3$,

also:

$f(11) = 11$.

Zuletzt noch:

$f(13) = f(11) + f(2) = 11 +2 =13$.

Daraus folgt:

$f(2002) = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(7) [mm] \cdot [/mm] f(11) [mm] \cdot [/mm] f(13) = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdot [/mm] 13 = 2002$,

also:

$f(1999) = f(2002) - f(3) = 1999$,

da $1999$ prim ist.

[peinlich]

So, und jetzt bitte die elegante Lösung von dir. :-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mi 20.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

Na, also megapeinlich muss dir das doch nicht sein :) Ich glaube nicht, dass es eine LÖsung gibt, die nicht ohne diese Rumprobiererei auskommt; ferner bezweifle ich, dass die Aufgabe anders gedacht war, bzw. das mit anderen Lösungen gerechnet wurde.

Ich selbst habe es fast genau so gemacht, nur, dass ich nicht 2002, sondern 2001 zerlegt habe, was ebenso gut funktioniert.


Liebe Grüße,
Hanno
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]