Aufgabe #59 (IMO2005),#5 < Internationale MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:26 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich stelle jetzt doch noch zwei Aufgaben aus der IMO hierein, die machbar sind; ganz besonders stolz bin ich auf Nummer 6, die ich habe lösen können. Nun erstmal die #5.
Man gebe alle natürlichen Zahlen an, die zu allen Gliedern der Folge [mm] $(a_n)$, $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ [/mm] relativ prim sind.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man erinnere sich an Fermats kleinen Satz:
Ist $p$ prim und [mm] $1\leq a\leq [/mm] p-1$, so gilt: [mm] $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Do 21.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe mir jetzt eine Lösung überlegt, aber die erscheint mir fast (für eine Aufgabe der IMO) zu simpel um wahr zu sein. (Das wäre übrigens meine erste IMO-Aufgabe, die ich mit weniger als einer Stunde Bedenkzeit herausbekommen hätte.)
Ist $p [mm] \notin \{2,3\}$ [/mm] prim, dann gilt natürlich:
$3+2+1-6 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Multiplikation mit [mm] $6^{-1}$ [/mm] (existiert nach Voraussetzung) liefert:
[mm] $2^{-1} [/mm] + [mm] 3^{-1} [/mm] + [mm] 6^{-1} [/mm] - 1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Nach dem kleinen Fermat bedeutet dies:
[mm] $2^{p-2} [/mm] + [mm] 3^{p-2} [/mm] + [mm] 6^{p-2} [/mm] - 1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$,
[/mm]
d.h. jedes prime $p [mm] \notin \{2,3\}$ [/mm] teilt [mm] $a_{p-2}$.
[/mm]
Es bleiben also nur die Primteiler $2$ und $3$ zu überprüfen, aber die teilen trivialerweise [mm] $a_1$ [/mm] bzw. [mm] $a_2$.
[/mm]
Also kann es keine Zahl geben, die zu allen [mm] $a_n$ [/mm] teilerfremd ist.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 21.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Deine Lösung ist korrekt. Die Aufgabe ist tatsächlich derart simpel.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
