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Forum "Internationale Mathe-Olympiade" - Aufgabe #58 (IMO),(UG)
Aufgabe #58 (IMO),(UG) < Internationale MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #58 (IMO),(UG): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:46 Sa 16.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Hier meine absolute Lieblingsungleichung :-)

Es seien $a,b,c$ positive, reelle Zahlen. Man beweise:

[mm] $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq [/mm] 1$!


Liebe Grüße,
Hanno

        
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Aufgabe #58 (IMO),(UG): Tip!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:53 Di 19.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Die Ungleichung ist homogenen, d.h. wir können $a+b+c=1$ annehmen. Ferner ist die Funktion [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}}$ [/mm] konvex, d.h. wir können auf sie die allgemeine Jenssen-Ungleichung anwenden:

Sei $f$ eine konvexe Funktion, [mm] $a_1,...,a_n\in\IR$ [/mm] und [mm] $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\sum \lambda_i=1$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\sum \lambda_i f(a_i)\geq f\left(\sum \lambda_i a_i\right)$. [/mm]

Für konkave Funktion kehrt sich die Ordnungsrelation um, d.h. die linke Seite ist kleiner als die Rechte.

Wendet man beides an, so sollte die Ungleichung schon wesentlich freundlicher aussehen.

Liebe Grüße,
Hanno

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Aufgabe #58 (IMO),(UG): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Di 19.07.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo Hanno.

Dann werde ich mal von deinen Tipps Gebrauch machen :-)

Aus der Jensen-Ungleichung folgt für [mm]a+b+c=1[/mm]:
[mm]\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq \frac{1}{a^3+b^3+c^3+24abc}[/mm]

Beweist man nun [mm]\frac{1}{a^3+b^3+c^3+24abc} \ge 1[/mm] so ist die Ungleichung bewiesen.

[mm]a^3+b^3+c^3+24abc \le 1[/mm]
[mm]\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+24abc \le (a+b+c)^3[/mm]
[mm]\Leftrightarrow 18abc \le 3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3bc^2+3b^2c[/mm]
[mm]\Leftrightarrow abc \le \frac{a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+bc^2+b^2c}{6}[/mm]

Aus der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel folgt
[mm]\frac{a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+bc^2+b^2c}{6} \ge \sqrt[6]{a^6b^6c^6}=abc[/mm]

MfG
Jan

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Aufgabe #58 (IMO),(UG): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Di 19.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Jan!

Supi :-)!


Liebe Grüße,
Hanno

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