Aufgabe #54 (DMO),(GEO) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:39 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Hier mal wieder eine kleine, recht einfache Geometrieaufgabe aus einer ehemaligen Landesrunde:
Die vier Punkte $A,B,C,D$ liegen auf einer Kreislinie $k$. Ferner liege ein Punkt $P$ so auf $AD$, dass $DP=DB=DC$ gilt. Man zeige, dass $P$ der Inkreismittelpunkt von $ABC$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Da [DB] = [CD] ist [mm] $\Delta_{BCD}$ [/mm] gleichschenklig, und somit [mm]w(DCB) = w(CBD)[/mm].
Mit dem Peripheriewinkelsatz folgt nun:
$w(DCB)=w(DAB)=w(CBD)=w(CAD)$
somit halbiert [mm] $g(A,D)\equiv [/mm] g(A,P)$ w(CAB).
Da [CD]=[PD] ist [mm] $\Delta_{DPC}$ [/mm] gleichschenklig, und somit w(DCP)=w(CPD).
$w(BCP)=w(DCP)-w(DCB)=w(CPD)- w(CAD)$
$w(CPM)=w(PCA)+w(CAP)$ (Außenwinkel in [mm] $\Delta_{PAC})$
[/mm]
[mm] $\gdw\, [/mm] w(PCA)=w(CPD)-w(CAP)=w(CPD)-w(CAD)$
Somit halbiert $g(C,P)$ den Winkel w(DCA).
Da P Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender in [mm] $\Delta_{ABC}$ [/mm] ist, ist P auch Inkreismittelpunkt von [mm] $\Delta_{ABC}$
[/mm]
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Do 14.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
> Da [DB] = [CD] ist $ [mm] \Delta_{BCD} [/mm] $ gleichschenklig, und somit $ w(DCB) = w(CBD) $.
> Mit dem Peripheriewinkelsatz folgt nun:
> $ w(DCB)=w(DAB)=w(CBD)=w(CAD) $
> somit halbiert $ [mm] g(A,D)\equiv [/mm] g(A,P) $ w(CAB).
Bis hierhin ist alles klar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Da [CD]=[PD] ist $ [mm] \Delta_{DPC} [/mm] $ gleichschenklig, und somit w(MCP)=w(CPM).
Warum das? Ich nehme an, M soll der Mittelpunkt des Kreises sein, auf dem ABCD liegen - richtig? Aber wenn [mm] $\Delta_{DPC}$ [/mm] gleichschenklig ist, dann folgt daraus doch lediglich, dass [mm] $\angle DCP=\angle [/mm] CPD$ gilt - wie kommst du hier auf eine Verbindung zum Kreismittelpunkt $M$?
Den Rest kann ich dann leider ebenso wenig nachvollziehen.
Kannst du das nochmal ein wenig erläutern?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Do 14.07.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
Ich es gilt $ M [mm] \equiv [/mm] D $!
Ich hab mich da mit den Bezeichnungen selbst verwirrr. Der Grundgedanke war, dass P irgendwo auf dem Kreis um D liegt, der durch B und C geht; D also Mittelpunkt eines zweiten Kreises ist...
Diese Überlegung hat aber außer der Bezeichnung "M [mm] \equiv [/mm] D" keine Früchte getragen.
Hab's jetzt im Artikel auch verbessert.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Do 14.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Ok, jetzt konnte ich das nachvollziehen.
> Somit halbiert g(C,P) den Winkel w(DCA).
Du meinst natürlich [mm] $\angle [/mm] BCA$.
Der Rest sollte richtig sein .
Liebe Grüße,
Hanno
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