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Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Aufgabe #52 (IrMO)
Aufgabe #52 (IrMO) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #52 (IrMO): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:17 Sa 09.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es sei [mm] $f:\IN\to\IN$ [/mm] mit $f(1)=2$ und [mm] $f(n+1)=(f(n))^2-f(n)+1, [/mm] n=1,2,...$. Beweise, dass für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$ die Ungleichungskette
[mm] $1-\frac{1}{2^{2^{n-1}}}<\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\cdots+\frac{1}{f(n)}<1-\frac{1}{2^{2^{n}}}$ [/mm]
gilt.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #52 (IrMO): Lösungsversuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Mo 18.07.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo Hanno.

> Es sei [mm]f:\IN\to\IN[/mm] mit [mm]f(1)=2[/mm] und [mm]f(n+1)=(f(n))^2-f(n)+1, n=1,2,...[/mm].
> Beweise, dass für alle [mm]n\geq 2[/mm] die Ungleichungskette
> [mm]1-\frac{1}{2^{2^{n-1}}}<\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\cdots+\frac{1}{f(n)}<1-\frac{1}{2^{2^{n}}}[/mm]
>  gilt.

Es lässt sich induktiv zeigen, dass
[mm]\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\cdots+\frac{1}{f(n)} = \frac{f(n+1)-2}{f(n+1)-1}[/mm]

Induktionsanfang (f(1)=2, f(2)=3, f(3)=7):
[mm]\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}=\frac{5}{6}=\frac{f(3)-2}{f(3)-1}[/mm]

Ind.-Schritt:
[mm]\frac{f(n+1)-2}{f(n+1)-1}+\frac{1}{f(n+1)}=\frac{f(n+1)^2-2f(n+1)+f(n+1)-1}{f(n+1)^2-f(n+1)}=\frac{f(n+2)-2}{f(n+2)-1}[/mm]

Desweiteren ist
[mm]\frac{f(n+1)-2}{f(n+1)-1}=1-\frac{1}{f(n+1)-1}[/mm]

Es bleibt zu zeigen, dass
[mm]1-\frac{1}{2^{2^{n-1}}}<1-\frac{1}{f(n+1)-1}<1-\frac{1}{2^{2^{n}}}[/mm]

[mm]\Leftrightarrow 2^{2^{n-1}} [mm]\Leftrightarrow 2^{2^{n-1}}+1
Die linke Seite kann man wie folgt induktiv zeigen:
Ind.-Anfang: [mm]f(3)=7>5=2^{2^{2-1}}+1[/mm]
Ind.-Schritt: [mm]f(n+2)=f(n+1)(f(n+1)-1)+1>(2^{2^{n-1}}+1)2^{2^{n-1}}+1=2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1>2^{2^n}+1[/mm]

Die rechte Seite der Ungleichung lautet:
[mm]f(n+1)<2^{2^{n}}+1[/mm]
Beweist man, dass [mm]f(n+1)<2^{2^{n}-1}[/mm], so ist diese bewiesen.

Dies wird wiederum induktiv gezeigt:
Ind.-Anfang: [mm]f(3)=7<8=2^{2^2-1}[/mm]
Ind.-Schritt:
[mm]f(n+2)=f(n+1)^2-f(n+1)+1<2^{2^{n+1}-2}-2^{2^{n}-1}+1<2^{2^{n+1}-1}[/mm]

Ich hoffe das stimmt.

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #52 (IrMO): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mo 18.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Jan!

Deine Abschätzungen am Ende scheinen sehr grob, ich konnte auf die Schnelle aber keinen Fehler entdecken! Meinen absoluten [respekt], die Idee mit der Induktion zu Beginn ist wirklich genial!

Ich stelle hier gliech noch eine weitere Aufgabe aus einer ehemaligen Bundesrunde der DeMO herein, die sich, wie man schnell einsieht, auf genau das gleiche Problem reduziert.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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