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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #32
Aufgabe #32 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #32: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:52 So 27.03.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Man bestimme alle positiven, reellen Lösungen des Gleichungssystemes
$x-y=7$
[mm] $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}=7$.
[/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #32: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:52 Mi 30.03.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Hanno,

kleiner Umformungen ergeben:
I: [mm]7=x-y=(\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{y})(\wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xy}+\wurzel[3]{y^2})=(\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{y})*7[/mm]

Damit ergibt sich:
[mm]\wurzel[3]{x}=1+\wurzel[3]{y} \Rightarrow \wurzel[3]{x^2}=1+2\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}[/mm]

II:[mm]\wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xy}+\wurzel[3]{y^2}=7[/mm]
[mm]\Rightarrow 1+2\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}+(1+\wurzel[3]{y})\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}=7[/mm]
[mm]\gdw \wurzel[3]{y^2}+\wurzel[3]{y}=2[/mm]
[mm]\gdw \wurzel[3]{y}=-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}=-2\vee 1[/mm]
[mm]\gdw y=-8\vee 1[/mm]
Eingesetzt in I ergibt: [mm] x=-1\vee 8 [/mm]
und damit die Lösungspaare: (x,y)=(-1,-8);(8,1)
Probe in II bestätigt das Ergebniss.

Das einzige positive reelle Lösungspaar ist somit (x,y)=(8,1)

Gruß Samuel

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #32: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mi 30.03.2005
Autor: moudi

Hallo Samuel

Klasse. Ich habe die Aufgabe genau gleich gelöst.

mfG Moudi

Bezug
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