Aufgabe 3 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 13.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Bestimme die 1. und 2. Ableitung der Funktion f.
a) [mm] f(x)=(3x+5)^{2}
[/mm]
b) [mm] f(x)=(2x-5)^{3}
[/mm]
c) [mm] f(x)=(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{4}
[/mm]
d) [mm] f(x)=\wurzel{2x+5}
[/mm]
e) [mm] f(x)=\bruch{1}{e^{x}-5}
[/mm]
f) [mm] f(x)=\wurzel{x²-x}
[/mm]
g) [mm] f(x)=3\cdot(2x-4)^{5}
[/mm]
h) [mm] f(x)=(\bruch{1}{4}x-9)^{\bruch{7}{3}}
[/mm]
i) [mm] f(x)=e^{2x+3}
[/mm]
j) [mm] f(x)=2\cdot\\sin(x²)
[/mm]
k) [mm] (5\cdot\\e^{3x²-1})^{3} [/mm] |
Quelle: Elemente der Mathemtaik
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Hallo Tyskie und argl!
Hier sind meine Lösungsvorschläge:
a) f'(x) = 6(3x+5) f''(x) = 18
b) f'(x) = [mm] 6(2x-5)^2 [/mm] f''(x) = 24(2x-5)
c) f'(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}x-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3[/mm]
nach der Produktregel:
f''(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3+(2x-3e^x)*(\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2*(\bruch{8}{3}x-4e^x)[/mm]
[mm] = (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)+(2x-3e^x)*(\bruch{8}{3}x-4e^x)][/mm]
Ich habe wie gesagt einige Lücken unter anderem beim Zusammenfassen!Wie könnte man das weiter vereinfachen?
d)
f'(x) = [mm] = \bruch{2}{ 2*\wurzel{2x+5}}[/mm]
f''(x) = [mm] = -\bruch{1}{ (2x+5)^{1,5}}[/mm]
e)
f'(x) = [mm] = \bruch{-1e^x}{ (e^x-5)^2}[/mm]
Mit Produktregel:
f''(x) = [mm] -\bruch{e^x}{ (e^x-5)^2}+\bruch{2e^{2x}}{ (e^x-5)^3[/mm] = [mm] -\bruch{e^{2x}+5e^x}{ (e^x-5)^3}[/mm]
f)
f'(x) = [mm] \bruch{2x-1}{2*\wurzel{x^2-x}}[/mm]
Nach der Produktregel:
f''(x) = [mm] \bruch{0,25x-0,25}{(x^2-x)^{1,5}}[/mm]
g)
f'(x)= [mm] 30*(2x-4)^4
[/mm]
f''(x) = [mm] 240*(2x-4)^3
[/mm]
h)
f'(x) = [mm] \bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{4}{3}}[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
i)
f'(x) = [mm] 2e^{2x+3} [/mm] f''(x)= [mm] 4e^{2x+3}
[/mm]
j) Bei Sinusfunktionen habe ich besonders viele Defizite! Ich hoffe es stimmt:
f'(x)= [mm] 2(cosx^2*2x)
[/mm]
f''(x)= [mm] 2[(-sinx^2*2x)*2x+2(cosx^2)] [/mm] /Produktregel
k) Auch das ist eine sehr knifflige Rechnung! Super!
f'(x) = [mm] 3*(5*6xe^{3x^2-1})(5*e^{3x^2-1})^2 [/mm] = [mm] 90xe^{3x^2-1}*(5*e^^{3x^2-1})^2
[/mm]
f''(x) = [mm] (90xe^{3x^2-1})*(60xe^{3x^2-1})+(5e^{3x^2-1})^2*(540x^2e^{3x^2-1})
[/mm]
Hier bin ich mir sehr unsicher, deswegen fasse ich einmal nicht zusammen!
Das wären meine vorläufigen Ergebnisse! Jetzt bin ich ganz schön lang beschäftigt gewesen und trotzdem wird einiges falsch sein.
Vielen Dank für eure Hilfe
Angelika
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Hallo Tyskie!
Danke für dein Kompliment und die schnelle Korrektur!
Bei c) stellt sich mir eine Grundlagenfrage. Vielleicht ist es ein Fehler den ich schon lange mache, ohne zu wissen, dass es ein Fehler ist!
Jedenfalls bin ich auch auf:
[mm] f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})\cdot\\4\cdot(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{3} [/mm]
gekommen nur habe ich
[mm] f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})[/mm]
mit 4 ausmultipliziert. Scheinbar ist das ein Fehler!
Wenn jedoch die Ableitung von: f(x) = [mm] (2x-3)^2 [/mm] bidet, geht man ja auch so vor, oder? f'(x) = 4*(2x-3)
So wie du sagt wäre die 2. Ableitung:
[mm]= (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[( \bruch{2}{3}-e^x)\cdot{}4*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)+(\bruch{2}{3}-e^x)*12][/mm]
oder?
Könnte man das dann so ausmultiplizieren:
[mm]f''(x)= (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[-\bruch{44}{3}e^2+\bruch{8}{9}x^2-\bruch{4}{3}e^xx^2+e^{2x}+\bruch{12}{3}x][/mm]
=[mm](\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[\bruch{-132e^x+8x^2-12e^xx^2+9e^{2x}+36x}{9}][/mm]
Soll ich nochmal ausmultiplizieren?
d)
f'(x)=[mm]\bruch{1}{\wurzel{2x+5}}[/mm]
e)
f''(x) =[mm]-\bruch{e^x(e^x+5}{ (e^x-5)^3} [/mm]
Bei h) ist mir nicht aufgefallen was du meinst?...
j) f'(x) = [mm] 4xcosx^2
[/mm]
f''(x) = [mm] 2(-4x^2sinx^2+2cosx^2) [/mm] So komme ich zu deinem Ergebniss!
Was die letze Übung betrifft, glaube ich hab erkannt wie du zur 1. Ableitung gekommen bist:
f(x) =[mm]125*e^{9x^2-3} [/mm]
f'(x) =[mm]18x*125*e^{9x^2-3} *e^{9x^2-3} [/mm]
Demnach wäre(Produktregel?) :[mm] f''(x) = 40500*e^{9x^2-3}x^2+2250*e^{9x^2-3} [/mm]
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
Angelika
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Danke Tyskie!
Du hast mir das wirklich sehr gut erklärt!(von diesem Trick hatte ich keine Ahnung!)
Bei der letzten Aufgabe steht dann:
f''(x) = [mm] e^{9x^2-3}(40500x^2+2250)
[/mm]
Bei f'(x) = [mm] 18x*125*e^{9x^2-3} [/mm] habe ich mich verschrieben!
Bei h) müsste es heißen: f'(x) = [mm] \bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{4}{3}[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{1}{3}[/mm]
Kann so eine Aufgabe eigentlich als beatwortet angesehen werden, oder müsste ich alle Lösungen nochmal schön auflisten?
Grüße
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
hier meine Lösungen.
a)f'(x)=18x+30
f''(x)=18
[mm] b)f'(x)=6*(2x-5)^{2}
[/mm]
f''(x)=48x-120
d) [mm] f'(x)=(2x+5)^{-0.5}
[/mm]
[mm] f''(x)=-(2x+5)^{-1.5}
[/mm]
f) [mm] f'(x)=(x-0.5)*(x^{2.5}-x)^{-0.5}
[/mm]
[mm] f''(x)=x^{2}-x-\bruch{1}{2}*(x^{2.5}-x)^{-1.5}*x-0.5
[/mm]
[mm] g)f'(x)=30*(2x-4)^{4}
[/mm]
f''(x)=60
[mm] h)f'(x)=\bruch{\pi}{12}*(\bruch{1}{4}x-9)^{-\bruch{2}{3}*\pi}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{2}{36}\pi*(\bruch{1}{4}x-9)^{-1 \bruch{2}{3}}
[/mm]
j)f'(x)=0
f''(x)=0
lg
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
. Mache dir zunächst Gedanken wie du dein f(x) vereinfachen kannst bevor du ans ableiten gehst. Die erste Ableitung gebe ich dir versuche darauf zu kommen. [mm] f'(x)=2250\cdot\\e^{9x^{2}-3}x
[/mm]![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Alles in allem eine sehr gute Arbeit. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
Kettenregel![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
die Klammer ist ja [mm] ()^{3} [/mm] also muss ich [mm] \blue{(\bruch{1}{3})^{3}} [/mm] aus der Klammer ziehen. Dann habe ich [mm] 4\cdot\red{\bruch{1}{3}}\cdot\blue{\bruch{1}{27}}\cdot(2x-3e^{x})\cdot(x^{2}-3e^{x})^{3}=\bruch{4}{81}\cdot(2x-3e^{x})\cdot(x^2-3e^{x})^{3}
[/mm]