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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #25
Aufgabe #25 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #25: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:58 Di 01.03.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Quelle: Baltic Way 2001

Es seien $p,q$ zwei verschiedene Primzahlen. Man zeige:

[mm] $\summe_{i=1}^{q-1}{\lfloor\frac{i\cdot p}{q}\rfloor}=\frac{1}{2}(q-1)(p-1)$ [/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #25: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Mi 09.03.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es bezeichne [mm] $q_x$ [/mm] den Rest von $x$ bei Division durch $q$. Dann gilt:

$ [mm] \summe_{i=1}^{q-1}{\lfloor\frac{i\cdot p}{q}\rfloor}$ [/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{q-1}{\frac{i\cdot p-q_{i\cdot p}}{q}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{q(q-1)}{2}-\frac{1}{q}\summe_{i=1}^{q-1} q_{i\cdot p}$ [/mm]
Nehmen wir an, es gäbe [mm] $i,j\in \{1,2,...,q-1\}$ [/mm] mit [mm] $i\not= [/mm] j$ und [mm] $i\cdot p\equiv j\cdot p\pmod{q}$. [/mm] Dann folgt [mm] $q|(i-j)p\Longrightarrow [/mm] i=j$ - Widerspruch. Folglich nimmt der Term [mm] $q_{i\cdot p}$ [/mm] alle Werte von $1$ bis $q-1$ an, es gilt also
[mm] $=\frac{p(q-1)}{2}-\frac{q(q-1)}{2q}=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$, [/mm]
was zu zeigen war.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
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