Aufgabe #115 (ZT),(SweMo) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:43 Do 29.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Man finde alle Paare $(m,n)$ nicht-negativer, ganzer Zahlen mit [mm] $3^m-1=2^n$. [/mm] |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Cool-Y |
Hallo zusammen,
Hier meine Lösung: [mm] \IL= [/mm] {(1,1),(2,3)}.
Beweis:
Ich unterscheide folgende Fälle:
1. n=0
[mm] 3^{m}-1=2^{0} \gdw 3^{m}=2. [/mm] Dies ist nicht für ganze m lösbar.
2. n=1
[mm] 3^{m}-1=2^{1} \gdw 3^{m}=3 \gdw [/mm] m=1
3. n=2
[mm] 3^{m}-1=2^{2} \gdw 3^{m}=5. [/mm] Dies ist nicht für ganze m lösbar.
4. n=3
[mm] 3^{m}-1=2^{3} \gdw 3^{m}=9 \gdw [/mm] m=2
5. [mm] n\ge4
[/mm]
Es gilt also:
[mm] 16|2^{n} [/mm]
[mm] \gdw 3^{m}\equiv1 [/mm] mod(16) (*)
Außerdem gilt:
[mm] 3^{1}\equiv3 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{2}\equiv9 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{3}\equiv11 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{4}\equiv1 [/mm] mod(16) [mm] \gdw (3^{4})^{k}\equiv1 [/mm] mod(16) mit [mm] k\in\IN
[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] 3^{4k+1}\equiv3 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{4k+2}\equiv9 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{4k+3}\equiv11 [/mm] mod(16)
[mm] 3^{4k} \equiv1 [/mm] mod(16)
mit (*) ergibt sich m=4k.
Allerdings gilt:
[mm] 3^{4}\equiv1 [/mm] mod(5)
[mm] \gdw (3^{4})^{k}\equiv1 [/mm] mod(5)
[mm] \gdw 3^{4k} \equiv1 [/mm] mod(5)
[mm] \gdw 5|3^{4k}-1
[/mm]
[mm] \gdw 5|3^{m}-1
[/mm]
[mm] \gdw 5|2^{n}
[/mm]
Da [mm] 2^{n} [/mm] für kein positives ganzes n durch 5 teilbar ist, liegt hier ein Widerspruch vor.
Es bleibt also bei den beiden Lösungen (1,1) und (2,3).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Di 03.01.2006 | | Autor: | Cool-Y |
Ja natürlich... Hab es jetzt korrigiert. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 03.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan.
Gesucht sind alle Paare $(m,n)$ mit [mm] $3^m-1=2^n$. [/mm] Nehmen wir an, $(m,n)$ sei ein solches paar. Ist $m$ gerade mit $m=2m'$, so [mm] $(3^{m'}+1)(3^{m'}-1)=2^n$ [/mm] und es folgt $m'=1,n=3$, d.h. $(m,n)=(2,3)$. Ist $m$ ungerade mit $m=2m'+1$, dann [mm] $3^m-1=(3-1)(1+3+...+3^{2m'})$. [/mm] Der zweite Faktor ist offensichtlich ungerade, d.h. $2$ ist die höchste Zweierpotenz, die in [mm] $3^m-1$ [/mm] aufgeht; es folgt $n=1$ und somit $m=1$, d.h. $(m,n)=(1,1)$.
Weitere Fälle gibt es nicht.
Liebe Grüße,
Hanno
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
, bis auf einen kleinen Schreibfehler:
